cho mặt cầu (S):x2+y2+z2=3. Một mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C thỏa mãn OA^2+OB^2+OC^2=27. Diện tích tam giác ABC bằng

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi H(a;b;c) là tiếp điểm của mặt phẳng  \( (\alpha ) \) và mặt cầu (S). Từ giả thiết ta có a, b, c là các số dương.

Mặt khác,  \( H\in (S) \) nên  \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3 \) hay  \( O{{H}^{2}}=3\Leftrightarrow OH=\sqrt{3} \)  (1)

Mặt phẳng  \( (\alpha ) \) đi qua điểm H và vuông góc với đường thẳng OH nên nhận  \( \overrightarrow{OH}=(a;b;c) \) làm vectơ pháp tuyến.

Do đó, mặt phẳng  \( (\alpha ) \) có phương trình là:

 \( a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0\Leftrightarrow ax+by+cz-({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})=0 \)

 \( \Leftrightarrow ax+by+cz-3=0 \).

Suy ra:  \( A\left( \frac{3}{a};0;0 \right),\text{ }B\left( 0;\frac{3}{b};0 \right),\text{ }C\left( 0;0;\frac{3}{c} \right) \).

Theo đề:  \( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=27\Leftrightarrow \frac{9}{{{a}^{2}}}+\frac{9}{{{b}^{2}}}+\frac{9}{{{c}^{2}}}=27\Leftrightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=3 \)   (2)

Từ (1) và (2), ta có:  \( \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \right)=9 \).

Mặt khác, ta có:  \( \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \right)\ge 9 \) và dấu “=” xảy ra khi  \( a=b=c=1 \).

Suy ra,  \( OA=OB=OC=3 \) và  \( {{V}_{O.ABC}}=\frac{OA.OB.OC}{6}=\frac{9}{2} \).

Lúc đó:  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{3{{V}_{O.ABC}}}{OH}=\frac{9\sqrt{3}}{2} \).