Cho hàm số y=−x^3−(m−1)x^2+(2m^2+3m+2)x−1 với m là tham số thực. Trong các điều kiện sau của m, đâu là điều kiện đầy đủ nhất để hàm số nghịch biến trên (2;+∞)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=-3{{x}^{2}}-2(m-1)x+2{{m}^{2}}+3m+2\le 0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right) \)

\( \Leftrightarrow f(x)=3{{x}^{2}}+2(m-1)x-(2{{m}^{2}}+3m+2)\ge 0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right) \) (*)

Ta có: \({\Delta }’={{(m-1)}^{2}}+3(2{{m}^{2}}+3m+2)=7({{m}^{2}}+m+1)>0,\forall m\in \mathbb{R}\)

Suy ra \( f(x)=0 \) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}=\frac{1-m-\sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}}{3}\) và \({{x}_{2}}=\frac{1-m+\sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}}{3}\) với  \( \forall m\in \mathbb{R} \).

Bảng biến thiên:

Do vậy:  \( {y}’\ge 0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right]\cup \left[ {{x}_{2}};+\infty  \right) \)

Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow \left( 2;+\infty  \right)\subset \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty  \right) \) \( \Leftrightarrow \left( 2;+\infty  \right)\subset \left( {{x}_{2}};+\infty  \right)\Leftrightarrow {{x}_{2}}\le 2 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1-m+\sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}}{3}\le 2 \) \( \Leftrightarrow \sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}\le m+5\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 7({{m}^{2}}+m+1)\le {{(m+5)}^{2}} \\& m+5\ge 0 \\\end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 6{{m}^{2}}-3m-18\le 0 \\& m\ge -5 \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -\frac{3}{2}\le m\le 2 \\ & m\ge -5 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow -\frac{3}{2}\le m\le 2 \)