Cho hàm số f(x) xác định trên R, có đạo hàm f′(x)=(x2−4)(x−5),∀x∈R và f(1)=0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số g(x)=∣f(x2+1)−m∣ có nhiều điểm cực trị nhất

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Xét  \( k(x)=f({{x}^{2}}+1)-m\Rightarrow {k}'(x)=2xf({{x}^{2}}+1) \).

 \( {k}'(x)=0\Leftrightarrow 2x{f}'({{x}^{2}}+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & {{x}^{2}}+1=2 \\  & {{x}^{2}}+1=-2 \\ & {{x}^{2}}+1=5 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=1 \\  & x=-1 \\  & x=-2 \\  & x=2 \\ \end{align} \right. \).

Lại có  \( f(x)=\int{{f}'(x)dx}=\int{({{x}^{2}}-4)(x-5)dx}=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{5}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+20x+C \).

Vì  \( f(1)=0 \) nên  \( f(x)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{5}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+20x-\frac{199}{12} \).

Bảng biến thiên:

Nhận xét:

+ Số điểm cực trị của hàm số  \( y=\left| f(x) \right| \) bằng số điểm cực trị của hàm số  \( y=f(x) \) cộng với số giao điểm của đồ thị hàm số  \( y=f(x) \) với trục Ox.

+ Hàm số  \( g(x)=\left| f({{x}^{2}}+1)-m \right| \) có nhiểu điểm cực trị nhất khi và chỉ khi  \( g(x)=f({{x}^{2}}+1)-m \) cắt Ox nhiều điểm nhất.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -\frac{995}{12}-m<0 \\  & -\frac{461}{6}-m>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -\frac{995}{12}<m<-\frac{461}{6} \).

Vì  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-82;-81;…;-76\} \). Vậy có 7 giá trị nguyên của m.