Cho hàm số f(x) xác định trên \( \mathbb{R} \), có đạo hàm \( {f}'(x)=({{x}^{2}}-4)(x-5),\forall x\in \mathbb{R} \) và \( f(1)=0 \). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \( g(x)=\left| f({{x}^{2}}+1)-m \right| \) có nhiều điểm cực trị nhất?
A. 6.
B. 8.
C. 5.
D. 7.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Xét \( k(x)=f({{x}^{2}}+1)-m\Rightarrow {k}'(x)=2xf({{x}^{2}}+1) \).
\( {k}'(x)=0\Leftrightarrow 2x{f}'({{x}^{2}}+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & {{x}^{2}}+1=2 \\ & {{x}^{2}}+1=-2 \\ & {{x}^{2}}+1=5 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ & x=-1 \\ & x=-2 \\ & x=2 \\ \end{align} \right. \).
Lại có \( f(x)=\int{{f}'(x)dx}=\int{({{x}^{2}}-4)(x-5)dx}=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{5}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+20x+C \).
Vì \( f(1)=0 \) nên \( f(x)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{5}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+20x-\frac{199}{12} \).
Bảng biến thiên:
Nhận xét:
+ Số điểm cực trị của hàm số \( y=\left| f(x) \right| \) bằng số điểm cực trị của hàm số \( y=f(x) \) cộng với số giao điểm của đồ thị hàm số \( y=f(x) \) với trục Ox.
+ Hàm số \( g(x)=\left| f({{x}^{2}}+1)-m \right| \) có nhiểu điểm cực trị nhất khi và chỉ khi \( g(x)=f({{x}^{2}}+1)-m \) cắt Ox nhiều điểm nhất.
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -\frac{995}{12}-m<0 \\ & -\frac{461}{6}-m>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -\frac{995}{12}<m<-\frac{461}{6} \).
Vì \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-82;-81;…;-76\} \). Vậy có 7 giá trị nguyên của m.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!