Cho hàm số f(x) xác định trên R, có đạo hàm f′(x)=(x2−4)(x−5),∀x∈R và f(1)=0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số g(x)=∣f(x2+1)−m∣ có nhiều điểm cực trị nhất

Cho hàm số f(x) xác định trên \( \mathbb{R} \), có đạo hàm  \( {f}'(x)=({{x}^{2}}-4)(x-5),\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( f(1)=0 \). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số  \( g(x)=\left| f({{x}^{2}}+1)-m \right| \) có nhiều điểm cực trị nhất?

A. 6.

B. 8.                                  

C. 5.                                  

D. 7.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Xét  \( k(x)=f({{x}^{2}}+1)-m\Rightarrow {k}'(x)=2xf({{x}^{2}}+1) \).

 \( {k}'(x)=0\Leftrightarrow 2x{f}'({{x}^{2}}+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & {{x}^{2}}+1=2 \\  & {{x}^{2}}+1=-2 \\ & {{x}^{2}}+1=5 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=1 \\  & x=-1 \\  & x=-2 \\  & x=2 \\ \end{align} \right. \).

Lại có  \( f(x)=\int{{f}'(x)dx}=\int{({{x}^{2}}-4)(x-5)dx}=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{5}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+20x+C \).

Vì  \( f(1)=0 \) nên  \( f(x)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{5}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+20x-\frac{199}{12} \).

Bảng biến thiên:

Nhận xét:

+ Số điểm cực trị của hàm số  \( y=\left| f(x) \right| \) bằng số điểm cực trị của hàm số  \( y=f(x) \) cộng với số giao điểm của đồ thị hàm số  \( y=f(x) \) với trục Ox.

+ Hàm số  \( g(x)=\left| f({{x}^{2}}+1)-m \right| \) có nhiểu điểm cực trị nhất khi và chỉ khi  \( g(x)=f({{x}^{2}}+1)-m \) cắt Ox nhiều điểm nhất.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -\frac{995}{12}-m<0 \\  & -\frac{461}{6}-m>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -\frac{995}{12}<m<-\frac{461}{6} \).

Vì  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-82;-81;…;-76\} \). Vậy có 7 giá trị nguyên của m.

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *