Cho hàm số bậc ba y=f(x). Biết rằng hàm số y=f′(1−x^2) có đồ thị như hình vẽ bên

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( {g}'(x)=\frac{2}{{{x}^{3}}}\cdot {f}’\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)-\frac{2}{{{x}^{2}}}=\frac{2}{{{x}^{2}}}\left[ \frac{1}{x}\cdot {f}’\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)-1 \right] \).

 \( \Rightarrow {g}'(x)=0\Leftrightarrow \frac{1}{x}\cdot {f}’\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)-1=0\Rightarrow {f}’\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)=x\Leftrightarrow {f}’\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=x \).

Đặt  \( t=\frac{1}{x} \) ta được  \( {f}'(1-{{t}^{2}})=\frac{1}{t} \).

Xét hàm số  \( h(t)=\frac{1}{t}\text{ }(t\ne 0)\Rightarrow {h}'(t)=-\frac{1}{{{t}^{2}}}<0,\text{ }\forall t\ne 0 \).

Vẽ đồ thị hàm số  \( h(t)=\frac{1}{t} \) trên cùng hệ trục tọa độ với hàm số  \( y={f}'(1-{{t}^{2}}) \).

Từ đồ thị suy ra  \( {g}'(x)=0 \) có 5 nghiệm đơn.

Vậy hàm số  \( g(x)=f\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)+\frac{2}{x} \) có 5 điểm cực trị.