Cho hai hàm số f(x)=x+msinx và g(x)=(m−3)x−(2m+1)cosx. Tất cả các giá trị của m làm cho hàm số f(x) đồng biến trên R và g(x) nghịch biến trên R

Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Điều kiện bài toán tương đương: \(\left\{ \begin{align}& {f}'(x)=1+m\cos x\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \\ & {g}'(x)=m-3+(2m+1)\sin x\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& h(t)=mt+1\ge 0,\forall t=\cos x\in \left[ -1;1 \right] \\ & l(t)=(2m+1)t+m-3,\forall t=\sin x\in \left[ -1;1 \right] \\\end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & h(-1)\ge 0 \\& h(1)\ge 0 \\ & l(-1)\le 0 \\ & l(1)\le 0 \\\end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m+1\ge 0 \\& m+1\ge 0 \\ & -m-4\le 0 \\& 3m-2\le 0 \\\end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le 1 \\& m\ge -1 \\& m\ge -4 \\& m\le \frac{2}{3} \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow -1\le m\le \frac{2}{3} \)

Chú ý: Trong bài toán trên ta đã dùng tính chất dấu của nhị thức bậc nhất như sau:

Cho nhị thức bậc nhất  \( f(x)=ax+b \), khi đó:

+ \( f(x)\ge 0,\forall x\in \left[ \alpha ;\beta  \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& f(\alpha )\ge 0 \\& f(\beta )\ge 0 \\\end{align} \right. \)

+ \( f(x)\le 0,\forall x\in \left[ \alpha ;\beta  \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& f(\alpha )\le 0 \\& f(\beta )\le 0 \\\end{align} \right. \)