cho mặt cầu \( {{(x-3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \) và đường thẳng  \( d:\left\{ \begin{align}  & x=1+2t \\  & y=-1+t \\  & z=-t \\ \end{align} \right.,\text{ }t\in \mathbb{R} \). Mặt phẳng chứa d và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( {{(x-3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \) và đường thẳng  \( d:\left\{ \begin{align}  & x=1+2t \\  & y=-1+t \\  & z=-t \\ \end{align} \right.,\text{ }t\in \mathbb{R} \). Mặt phẳng chứa d và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là:

A. \( y+z+1=0 \)

B.  \( x+3y+5z+2=0 \)   

C.  \( x-2y-3=0 \)             

D.  \( 3x-2y-4z-8=0 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm cầu I(3;1;0) lên d, từ đó ta tìm được H(3;0;-1).

Thấy  \( IH\le R  \) nên d cắt (S).

Vậy mặt phẳng cần tìm nhận  \( \overrightarrow{IH}=(0;-1;-1) \) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng là  \( y+z+1=0 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y−6z−2=0 và mặt phẳng (α):4x+3y−12z+10=0. Lập phương trình mặt phẳng (β) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: tiếp xúc với (S), song song với (α) và cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-6z-2=0 \) và mặt phẳng  \( (\alpha ):4x+3y-12z+10=0 \). Lập phương trình mặt phẳng  \( (\beta ) \) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: tiếp xúc với (S), song song với \( (\alpha ) \) và cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương.

A. \( 4x+3y-12z-78=0 \)

B. \( 4x+3y-12z-26=0 \)

C. \( 4x+3y-12z+78=0 \)

D. \( 4x+3y-12z+26=0 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính  \( R=4 \).

Mặt phẳng  \( (\beta ) \) song song với  \( (\alpha ) \) nên có phương trình dạng  \( 4x+3y-12z+c=0\text{ }(c\ne 10) \).

 \( (\beta ) \) tiếp xúc với (S)  \( \Leftrightarrow d\left( I,(\beta ) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| 4.1+3.2-12.3+c \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{12}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \frac{\left| -26+c \right|}{13}=4 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & -26+c=52 \\  & -26+c=-52 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & c=78 \\  & c=-26 \\ \end{align} \right. \).

+ Với  \( c=78 \) thì  \( (\beta ):4x+3y-12z+78=0 \). Mặt phẳng  \( (\beta ) \) cắt trục Oz ở điểm  \( M\left( 0;0;\frac{13}{2} \right) \)  có cao độ dương.

+ Với  \( c=-26 \) thì  \( (\beta ):4x+3y-12z-26=0 \). Mặt phẳng  \( (\beta ) \) cắt trục Oz ở điểm  \( M\left( 0;0;-\frac{13}{6} \right) \) có cao độ âm.

Vậy  \( (\beta ):4x+3y-12z+78=0 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), B(2;-2;0), C(-2;0;1). Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), B(2;-2;0), C(-2;0;1). Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

A. \( 4x-2y-z+4=0 \)

B.  \( 4x-2y+z+4=0 \)     

C.  \( 4x+2y+z-4=0 \)    

D.  \( 4x+2y-z+4=0 \)

 

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(2;-3;-2) \),  \( \overrightarrow{AC}=(-2;-1;-1) \) nên  \( \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(1;6;-8) \).

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:  \( x+6y-8z+10=0 \).

Phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AC là:  \( 2x+y+z-2=0 \).

Phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với AB là:  \( 2x-3y-2z+6=0 \).

Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm H của tam giác ABC nên  \( H\left( -\frac{22}{101};\frac{70}{101};\frac{176}{101} \right) \).

Mặt phẳng (P) đi qua A, H nên \({{\vec{n}}_{P}}\bot \overrightarrow{AH}=\left( -\frac{22}{101};-\frac{31}{101};-\frac{26}{101} \right)=-\frac{1}{101}(22;31;26)\).

Mặt phẳng  \( (P)\bot (ABC) \) nên  \( {{\vec{n}}_{P}}\bot {{\vec{n}}_{(ABC)}}=(1;6;-8) \).

Vậy  \( {{\vec{n}}_{P}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{(ABC)}};{{{\vec{u}}}_{AH}} \right]=(404;-202;-101)=101(4;-2;-1) \)

Do đó, phương trình mặt phẳng (P) là:  \( 4x-2y-z+4=0 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!