Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính  \( R=4 \).

Mặt phẳng  \( (\beta ) \) song song với  \( (\alpha ) \) nên có phương trình dạng  \( 4x+3y-12z+c=0\text{ }(c\ne 10) \).

 \( (\beta ) \) tiếp xúc với (S)  \( \Leftrightarrow d\left( I,(\beta ) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| 4.1+3.2-12.3+c \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{12}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \frac{\left| -26+c \right|}{13}=4 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & -26+c=52 \\  & -26+c=-52 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & c=78 \\  & c=-26 \\ \end{align} \right. \).

+ Với  \( c=78 \) thì  \( (\beta ):4x+3y-12z+78=0 \). Mặt phẳng  \( (\beta ) \) cắt trục Oz ở điểm  \( M\left( 0;0;\frac{13}{2} \right) \)  có cao độ dương.

+ Với  \( c=-26 \) thì  \( (\beta ):4x+3y-12z-26=0 \). Mặt phẳng  \( (\beta ) \) cắt trục Oz ở điểm  \( M\left( 0;0;-\frac{13}{6} \right) \) có cao độ âm.

Vậy  \( (\beta ):4x+3y-12z+78=0 \).