cho mặt phẳng (P):2x−2y+z+3=0 và mặt cầu (S):(x−1)^2+(y+3)2+z2=9 và đường thẳng d:x/−2=y+2/1=z+1/2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):2x-2y+z+3=0 \) và mặt cầu  \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \) và đường thẳng  \( d:\frac{x}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{2} \). Cho các phát biểu sau đây:

(I) Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt.

(II) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).

(III) Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.

(IV) Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại một điểm.

Số phát biểu đúng là:

A. 4

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;0), bán kính  \( R=3 \).

Phương trình tham số của đường thẳng  \( d:\left\{ \begin{align} & x=-2t \\ & y=-2+t \\  & z=-1+2t \\ \end{align} \right. \).

Xét hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & x=-2t \\  & y=-2+t \\  & z=-1+2t \\  & {{(x-1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \\ \end{align} \right.\Rightarrow 9{{t}^{2}}+2t-6=0 \)  (1)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt nên d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.

 \( d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 2.1-2.(-3)+0+3 \right|}{3}=\frac{11}{3}>R\Rightarrow (P) \) và (S) không có điểm chung.

Xét hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & x=-2t \\  & y=-2+t \\  & z=-1+2t \\  & 2x-2y+z+3=0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow t=\frac{3}{2} \) nên d cắt (P) tại một điểm.

Vậy có 3 phát biểu đúng.

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;0;0), B(0;−2;0), C(0;0;−4). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;0;0), \( B(0;-2;0) \),  \( C(0;0;-4) \). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có diện tích bằng

A. \( 116\pi \)                                                                                                      

B.  \( \frac{29\pi }{4} \)            

C.  \( 29\pi  \)                   

D.  \( 16\pi  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Cách 1:

Giả sử mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC có phương trình:  \( v \)

(S) đi qua 4 điểm O, A, B, C nên ta có hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & d=0 \\  & 9-6a+d=0 \\  & 4+4b+d=0 \\  & 16+8c+d=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=\frac{3}{2} \\  & b=-1 \\  & c=-2 \\  & d=0 \\ \end{align} \right. \)

Suy ra mặt cầu (S) có tâm  \( I\left( \frac{3}{2};-1;-2 \right) \), bán kính  \( R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\frac{\sqrt{29}}{2} \).

Vậy diện tích mặt cầu (S) bằng  \( \frac{29\pi }{4} \).

Cách 2:

Khối tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc tại O. Khi đó mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC có bán kính  \( R=\frac{\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} \).

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp OABC bằng  \( \frac{29\pi }{4} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho phương trình x^2+y^2+z^2−4x+2my+3m^2−2m=0 với m là tham số m. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu

Cho phương trình \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2my+3{{m}^{2}}-2m=0 \) với m là tham số m. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.

A. 0

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Giả sử  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2my+3{{m}^{2}}-2m=0 \) là phương trình mặt cầu.

Khi đó tâm mặt cầu là  \( I(2;-m;0) \) và bán kính  \( R=\sqrt{4+{{m}^{2}}-(3{{m}^{2}}-2m)}=\sqrt{-2{{m}^{2}}+2m+4} \), với điều kiện  \( -2{{m}^{2}}+2m+4>0\Leftrightarrow -1<m<2 \).

Do  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{0;1\} \).

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của m bằng 1.

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy và đi qua ba điểm A(1;2;−4), B(1;−3;1), C(2;2;3). Tọa độ tâm I của mặt cầu là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy và đi qua ba điểm \( A(1;2;-4),\text{ }B(1;-3;1),\text{ }C(2;2;3) \). Tọa độ tâm I của mặt cầu là:

A. \( (2;-1;0) \)

B.  \( (-2;1;0) \)                 

C.  \( (0;0;-2) \)                

D. (0;0;0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi tâm I(a;b;c) và phương trình mặt cầu (S):  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0 \)

Do  \( I\in (Oxy)\Leftrightarrow c=0 \)

 \( \Rightarrow (S):\text{ }{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by+d=0 \)

Ta có:  \( \left\{ \begin{align} & A\in (S) \\  & B\in (S) \\  & C\in (S) \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2a+4b-d=21 \\ & 2a-6b-d=11 \\ & 4a+4b-d=17 \\\end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=-2 \\  & b=1 \\ & d=-21 \\ \end{align} \right. \).

Vậy  \( I(-2;1;0) \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho phương trình x^2+y^2+z^2−2(m+2)x+4my−2mz+5m^2+9=0. Tìm các giá trị của m để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho phương trình \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2(m+2)x+4my-2mz+5{{m}^{2}}+9=0 \). Tìm các giá trị của m để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu.

A. \( m<-5\vee m>1 \)

B.  \( -5<m<1 \)              

C.  \( m<-5 \)                   

D.  \( m>1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có điều kiện xác định mặt cầu là:  \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}>{{c}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{(m+2)}^{2}}+4{{m}^{2}}+{{m}^{2}}-5{{m}^{2}}-9>0\) \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m-5>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m<-5 \\  & m>1 \\ \end{align} \right.  \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian Oxyz có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình x^2+y^2+z^2+4mx+2my−2mz+9m^2−28=0 là phương trình mặt cầu

Trong không gian Oxyz có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4mx+2my-2mz+9{{m}^{2}}-28=0 \) là phương trình mặt cầu?

A. 7

B. 8                                   

C. 9                                   

D. 6

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4mx+2my-2mz+9{{m}^{2}}-28=0 \)

 \( {{(-2m)}^{2}}+{{(-m)}^{2}}+{{m}^{2}}-9{{m}^{2}}+28>0 \)

 \( \Leftrightarrow 28-3{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow -\sqrt{\frac{28}{3}}<m<\sqrt{\frac{28}{3}} \)

Do m nguyên nên  \( m\in \{-3;-2;-1;0;1;2;3\} \).

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x^2+y^2+z^2−2(m+2)x+4my+19m−6=0 là phương trình mặt cầu

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2(m+2)x+4my+19m-6=0 \) là phương trình mặt cầu.

A. \( 1<m<2 \)

B.  \( m<1\vee m>2 \)     

C.  \( -2\le m\le 1 \)           

D.  \( m<-2\vee m>1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Điều kiện để phương trình  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2(m+2)x+4my+19m-6=0 \) là phương trình mặt cầu là:  \( {{(m+2)}^{2}}+4{{m}^{2}}-19m+6>0 \) \( \Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-15m+10>0\Leftrightarrow m<1\vee m>2 \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá nguyên của m để x^2+y^2+z^2+2(m+2)−2(m−1)z+3m^2−5=0 là phương trình một mặt cầu

Trong không gian Oxyz, có tất cả bao nhiêu giá nguyên của m để \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2(m+2)-2(m-1)z+3{{m}^{2}}-5=0 \) là phương trình một mặt cầu?

A. 4

B. 6

C. 5                                   

D. 7

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

 \( {{(m+2)}^{2}}+{{(m-1)}^{2}}-3{{m}^{2}}+5>0 \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-10<0\Leftrightarrow -1-\sqrt{11}<m<1+\sqrt{11} \)

Theo bài ra  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\{-2;-1;0;1;2;3;4\} \) \( \Rightarrow \)  có 7 giá trị của m nguyên thỏa mãn bài toán.

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!