Phương trình \( {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x} \) có bao nhiêu nghiệm thực trên \( \left[ -5\pi ;2019\pi \right] \)?
A. 2025.
B. 2017.
C. 2022.
D. Vô nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Xét \( {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{1+{{\sin }^{2}}x}\,\,\,\,\,(1) \)
Đặt \( t=\sin x,\,\,t\in [-1;1] \).
Khi đó (1) trở thành \( {{2019}^{t}}=t+\sqrt{1+{{t}^{2}}}\Leftrightarrow {{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)=-1\,\,\,\,\,\,\,(2) \).
Xét hàm số: \( f(t)={{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right),\,\,\forall t\in [-1;1] \)
\( \Rightarrow {f}'(t)=\frac{{{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)\left( \sqrt{1+{{t}^{2}}}\ln 2019-1 \right)}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}} \).
Cho \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t-\sqrt{1+{{t}^{2}}}=0 \\ & \sqrt{1+{{t}^{2}}}\ln 2019-1=0 \\ \end{align} \right. \) vô nghiệm \( \Rightarrow {f}'(t)<0,\,\,\forall t\in [-1;1] \).
\( \Rightarrow (2) \) có nghiệm duy nhất \( t=0\Rightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \).
Mà \( x\in [-5\pi ;2019\pi ]\Rightarrow -5\pi \le k\pi \le 2019\pi \Leftrightarrow -5\le k\le 2019\Rightarrow k\in [-5;2019] \).
Kết luận: Có 2025 nghiệm thực trên \( [-5\pi ;2019\pi ] \).
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!