Phương trình x(2^x−1+4)=2^x+1+x^2 có tổng các nghiệm bằng

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( x\left( {{2}^{x-1}}+4 \right)={{2}^{x+1}}+{{x}^{2}}\Leftrightarrow x{{.2}^{x-1}}-{{4.2}^{x-1}}+4x-{{x}^{2}}=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{2}^{x-1}}(x-4)-x(x-4)=0\Leftrightarrow (x-4)({{2}^{x-1}}-x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=4 \\  & {{2}^{x}}=2x\,\,\,\,\,\,(*) \\ \end{align} \right. \).

Giải phương trình (*):

Xét hàm số  \( f(x)={{2}^{x}}-2x có {f}'(x)={{2}^{x}}\ln 2-2;\,\,{f}”(x)={{2}^{x}}{{\ln }^{2}}2>0 \).

Suy ra phương trình  \( {f}'(x)=0 \) có duy nhất một nghiệm, suy ra phương trình  \( f(x)=0 \) có nhiều nhất là hai nghiệm. Mà ta thấy  \( f(1)=f(2)=0 \) nên phương trình (*) có 2 nghiệm  \( x=1;\,\,x=2 \).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 7.