Gọi z là một nghiệm của phương trình z^2−z+1=0. Giá trị của biểu thức M=z^2019+z^2018+1/z^2019+1/z^2018+5 bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Phương trình  \( {{z}^{2}}-z+1=0 \) có hai nghiệm \( z=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \).

Chọn \( z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3} \).

Áp dụng công thức Moivre:  \( {{(\cos \varphi +i\sin \varphi )}^{n}}=\cos (n\varphi )+i\sin (n\varphi ),\text{ }\forall n\in \mathbb{N} \), ta được:

 \( {{z}^{2019}}=\cos \frac{2019\pi }{3}+i\sin \frac{2019\pi }{3}=-1\Rightarrow \frac{1}{{{z}^{2019}}}=-1 \)

 \( {{z}^{2018}}=\cos \frac{2018\pi }{3}+i\sin \frac{2018\pi }{3}=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3} \)

 \( \Rightarrow \frac{1}{{{z}^{2018}}}=\cos \left( -\frac{2\pi }{3} \right)+i\sin \left( -\frac{2\pi }{3} \right)=\cos \frac{2\pi }{3}-i\sin \frac{2\pi }{3} \).

Do đó, \( M=-1-1+\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}+\cos \frac{2\pi }{3}-i\sin \frac{2\pi }{3}+5=2 \).

Vậy M = 2.