Giải phương trình: 2sin3x−1/sinx=2cos3x+1/cosx

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \sin 2x\ne 0 \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 2(\sin 3x-\cos 3x)=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \)

 \( \Leftrightarrow 2\left[ 3(\sin x+\cos x)-4({{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x) \right]=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \)

 \( \Leftrightarrow 2(\sin x+\cos x)\left[ 3-4({{\sin }^{2}}x-\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x) \right]=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x} \)

 \( \Leftrightarrow (\sin x+\cos x)\left[ -2+8\sin x\cos x-\frac{1}{\sin x\cos x} \right]=0 \)

 \( \Leftrightarrow (\sin x+\cos x)\left[ 4\sin 2x-\frac{2}{\sin 2x}-2 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x+\cos x=0 \\  & 4{{\sin }^{2}}2x-2\sin 2x-2=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=-1 \\  & \sin 2x=1\vee \sin 2x=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) (nhận so với điều kiện)

 \( \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \vee 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \vee 2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee 2x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \)

 \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi \vee x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \vee x=\frac{7\pi }{12}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).