Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=2/3x^3−mx^2−2(3m^2−1)x+2/3 có hai điểm cực trị có hoành độ x1, x2 sao cho x1x2+2(x1+x2)=1

Hướng dẫn giải:

Đáp án A

Ta có:  \( {y}’=2{{x}^{2}}-2mx-2\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)=2\left( {{x}^{2}}-mx-3{{m}^{2}}+1 \right) \)

 \( g(x)={{x}^{2}}-mx-3{{m}^{2}}+1 \);  \( \Delta =13{{m}^{2}}-4 \)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y’ có hai nghiệm phân biệt.

 \( \Leftrightarrow g(x)=0 \) có hai nghiệm phân biệt.

 \( \Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m>\frac{2\sqrt{13}}{13} \\  & m<-\frac{2\sqrt{13}}{13} \\ \end{align} \right. \)  (*)

x₁, x₂ là các nghiệm của g(x) nên theo định lí Viet, ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3{{m}^{2}}+1 \\ \end{align} \right. \).

Do đó:  \( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1 \) \( \Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+2m+1=1\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+2m=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\  & m=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right. \)

Đối chiếu với điều kiện (*), ta thấy chỉ  \( m=\frac{2}{3} \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.