Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=1/3x^3−mx^2+(m^2−1)x có hai điểm cực trị A và B sao cho A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d: y=5x−9. Tính tổng tất cả các phần tử của S

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1 \)

 \( \Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=m-1 \\  & x=m+1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow A\left( m-1;\frac{{{m}^{3}}-3m+2}{3} \right) \) và  \( B\left( m+1;\frac{{{m}^{3}}-3m-2}{3} \right) \)

Dễ thấy phương trình đường thẳng AB: \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{m\left( {{m}^{2}}-1 \right)}{3}\) nên AB không thể song song hoặc trùng với d

 \( \Rightarrow  \)A, B cách đều đường thẳng d:  \( y=5x-9 \) nếu trung điểm I của AB nằm trên d.

 \( I\left( m;\frac{{{m}^{3}}-3m}{3} \right)\in d\Rightarrow \frac{{{m}^{3}}-3m}{3}=5m-9 \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{3}}-18m+27=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=3 \\  & m=\frac{-3\pm 3\sqrt{5}}{2} \\ \end{align} \right. \)

Với m = 3  \( \Rightarrow  \)A, B thỏa mãn điều kiện nằm khác phía so với d.

Với  \( m=\frac{-3\pm 3\sqrt{5}}{2} \)  \( \Rightarrow  \)A, B thỏa mãn điều kiện nằm khác phía so với d.

Tổng các phần tử của S bằng 0.