Cho số phức z thỏa mãn |z|=1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=|z+1|+∣z2−z+1∣

Cho số phức z thỏa mãn \( \left| z \right|=1 \). Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \( P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right| \). Tính M.m

A. \( \frac{13\sqrt{3}}{4} \)                                           

B.  \( \frac{39}{4} \)                 

C.  \( 3\sqrt{3} \)              

D.  \( \frac{13}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Thay  \( \left| {{z}^{2}} \right|=1 \) vào P, ta có:

 \( P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+{{\left| z \right|}^{2}} \right| \)

 \( =\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+z.\bar{z} \right|=\left| z+1 \right|+\left| z \right|\left| z-1+\bar{z} \right|=\left| z+1 \right|+\left| z-1+\bar{z} \right| \)

Mặt khác,  \( {{\left| z+1 \right|}^{2}}=(z+1)(\bar{z}+1)=2+z+\bar{z} \).

Đặt  \( t=z+\bar{z}\) do  \( \left| z \right|=1 \)  nên điều kiện \(t\in \left[ -2;2 \right]\).

Suy ra:  \( P=\sqrt{t+2}+\left| t-1 \right| \).

Xét hàm số  \( f(t)=\sqrt{t+2}+\left| t-1 \right| \) với  \( t\in \left[ -2;2 \right] \).

 \( {f}'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t+2}}+1 \) với  \( t>1 \). Suy ra  \( {f}'(t)>0 \) với  \( t>1 \) .

\({f}'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t+2}}-1\) với \(t<1\). Suy ra  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow t=-\frac{7}{4} \).

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra:  \( M=\frac{13}{4} \) tại  \( t=-\frac{7}{4} \) và  \( m=\sqrt{3} \) tại t = 2.

Vậy,  \( M.m=\frac{13\sqrt{3}}{4} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *