Cho phương trình x^2−4x+c/d=0 (với phân số c/d tối giản) có hai nghiệm phức. Gọi A, B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy. Biết tam giác OAB đều (với O là gốc tọa độ), tính P=c+2d

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( {{x}^{2}}-4x+\frac{c}{d}=0 \) có hia nghiệm phức  \( \Leftrightarrow {\Delta }’=4-\frac{c}{d}<0 \).

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức \( {{x}_{1}}=2+\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|}i;\text{ }{{x}_{2}}=2-\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|}i \).

Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn của  \( {{x}_{1}};\text{ }{{x}_{2}} \) trên mặt phẳng Oxy ta có:

 \( A\left( 2;\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|} \right);\text{ }B\left( 2;-\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|} \right) \).

Ta có: \( AB=2\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|};\text{ }OA=OB=\sqrt{4+\left| {{\Delta }’} \right|} \).

Tam giác OAB đều khi và chỉ khi \(AB=OA=OB\Leftrightarrow 2\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|}=\sqrt{4+\left| {{\Delta }’} \right|}\)

\(\Leftrightarrow 4\left| {{\Delta }’} \right|=4+\left| {{\Delta }’} \right|\Leftrightarrow \left| {{\Delta }’} \right|=\frac{4}{3}\).

Vì \({\Delta }'<0\) nên \({\Delta }’=-\frac{4}{3}\Rightarrow 4-\frac{c}{d}=-\frac{4}{3}\Leftrightarrow \frac{c}{d}=\frac{16}{3}\)

Từ đó, ta có:  \( c=16;\text{ }d=3 \).

Vậy,  \( P=c+2d=22 \) .