Cho phương trình m(sinx+cosx+1)=1+sin2x (*). Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn [0;π/2]

Hướng dẫn giải:

Đặt  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), điều kiện:  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \)

Thì  \( {{t}^{2}}=1+\sin 2x \).

Vậy (*) thành:  \( m(t+1)={{t}^{2}} \).

Nếu  \( 0\le x\le \frac{\pi }{2} \) thì  \( \frac{\pi }{4}\le x+\frac{\pi }{4}\le \frac{3\pi }{4} \).

Do đó:  \( \frac{\sqrt{2}}{2}\le \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le 1\Leftrightarrow 1\le t\le \sqrt{2} \).

Ta có:  \( m(t+1)={{t}^{2}}\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}}{t+1} \) (do  \( t=-1 \) không là nghiệm của phương trình).

Xét  \( y=\frac{{{t}^{2}}}{t+1} \) trên  \( \left[ 1;\sqrt{2} \right] \) thì  \( {y}’=\frac{{{t}^{2}}+2t}{{{(t+1)}^{2}}}>0,\text{ }\forall t\in \left[ 1;\sqrt{2} \right] \).

Do đó, y đồng biến trên  \( \left[ 1;\sqrt{2} \right] \).

Vậy (*) có nghiệm trên  \( \left[ 1;\frac{\pi }{2} \right] \) \( \Leftrightarrow y(1)\le m\le y(\sqrt{2})\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le m\le 2\left( \sqrt{2}-1 \right) \).