Cho phương trình m(sinx+cosx+1)=1+sin2x (*). Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn [0;π/2]

Cho phương trình \( m(\sin x+\cos x+1)=1+\sin 2x \)  (*). Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn  \( \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right] \).

Hướng dẫn giải:

Đặt  \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), điều kiện:  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \)

Thì  \( {{t}^{2}}=1+\sin 2x \).

Vậy (*) thành:  \( m(t+1)={{t}^{2}} \).

Nếu  \( 0\le x\le \frac{\pi }{2} \) thì  \( \frac{\pi }{4}\le x+\frac{\pi }{4}\le \frac{3\pi }{4} \).

Do đó:  \( \frac{\sqrt{2}}{2}\le \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le 1\Leftrightarrow 1\le t\le \sqrt{2} \).

Ta có:  \( m(t+1)={{t}^{2}}\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}}{t+1} \) (do  \( t=-1 \) không là nghiệm của phương trình).

Xét  \( y=\frac{{{t}^{2}}}{t+1} \) trên  \( \left[ 1;\sqrt{2} \right] \) thì  \( {y}’=\frac{{{t}^{2}}+2t}{{{(t+1)}^{2}}}>0,\text{ }\forall t\in \left[ 1;\sqrt{2} \right] \).

Do đó, y đồng biến trên  \( \left[ 1;\sqrt{2} \right] \).

Vậy (*) có nghiệm trên  \( \left[ 1;\frac{\pi }{2} \right] \) \( \Leftrightarrow y(1)\le m\le y(\sqrt{2})\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le m\le 2\left( \sqrt{2}-1 \right) \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *