cho mặt phẳng (P):x−y+2z−1=0 và các điểm A(0;1;1), B(1;0;0) (A và B nằm trong mặt phẳng (P)) và mặt cầu (S):(x−2)2+(y+1)2+(z−2)2=4. CD là đường kính thay đổi của (S) sao cho CD song song với mặt phẳng (P) và bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):x-y+2z-1=0 \) và các điểm A(0;1;1), B(1;0;0) (A và B nằm trong mặt phẳng (P)) và mặt cầu  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \). CD là đường kính thay đổi của (S) sao cho CD song song với mặt phẳng (P) và bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của tứ diện đó là:

A. \( 2\sqrt{6} \)

B.  \( 2\sqrt{5} \)                       

C.  \( 2\sqrt{2} \)              

D.  \( 2\sqrt{3} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;2), mặt phẳng (P) có VTPT  \( \vec{n}=(1;-1;2) \). Gọi điểm C(x;y;z), ta có  \( C\in (S) \) nên  \( {{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \)    (1).

Do CD là đường kính của mặt cầu (S) nên I là trung điểm của CD, suy ra  \( D(4-x;-y-2;4-z) \).

Mà theo đề có CD song song với mặt phẳng (P) nên

 \( \overrightarrow{IC}\bot \vec{n}\Leftrightarrow \overrightarrow{IC}.\vec{n}=0\Leftrightarrow x-2-(y+1)+2(z-2)=0 \)  (2)

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(1;-1;-1);\text{ }\overrightarrow{AC}=(x;y-1;z-1);\text{ }\overrightarrow{AD}=(4-x;-y-3;3-z) \).

 \( \left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right]=\left( 2y+4z-6;-2x+4z-4;-4x-4y+4 \right) \).

 \( \overrightarrow{AB}.\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right]=2y+4z-6+(-1).(-2x+4z-4)+(-1).(-4x-4y+4)=6x+6y-6 \).

Thể tích khối tứ diện ABCD là: \(V=\frac{1}{6}\left| \overrightarrow{AB}.\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right] \right|=\left| x+y-1 \right|\).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & x-2=a \\  & y+1=b \\  & z-2=c \\ \end{align} \right. \). Từ (1) và (2) ta có hệ:  \( \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4 \\  & a-b+2c=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a-b=-2c \\  & ab=\frac{4-5{{c}^{2}}}{2} \\ \end{align} \right. \).

 \( V=\left| x+y-1 \right|=\left| x-2+y+1 \right|=\left| a+b \right|=\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+4ab} \)

 \( =\sqrt{4{{c}^{2}}+2(4-5{{c}^{2}})}=\sqrt{8-6{{c}^{2}}}\le 2\sqrt{2} \).

Vậy giá trị lớn nhất của V là  \( 2\sqrt{2} \) khi và chỉ khi:

 \( \left\{ \begin{align}  & z-2=0 \\  & x-2=y+1 \\  & {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=2+\sqrt{2};y=-1+\sqrt{2};z=2 \\  & x=2-\sqrt{2};y=-1-\sqrt{2};z=2 \\ \end{align} \right. \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *