cho mặt phẳng (P):x−y+2z−1=0 và các điểm A(0;1;1), B(1;0;0) (A và B nằm trong mặt phẳng (P)) và mặt cầu (S):(x−2)2+(y+1)2+(z−2)2=4. CD là đường kính thay đổi của (S) sao cho CD song song với mặt phẳng (P) và bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;2), mặt phẳng (P) có VTPT  \( \vec{n}=(1;-1;2) \). Gọi điểm C(x;y;z), ta có  \( C\in (S) \) nên  \( {{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \)    (1).

Do CD là đường kính của mặt cầu (S) nên I là trung điểm của CD, suy ra  \( D(4-x;-y-2;4-z) \).

Mà theo đề có CD song song với mặt phẳng (P) nên

 \( \overrightarrow{IC}\bot \vec{n}\Leftrightarrow \overrightarrow{IC}.\vec{n}=0\Leftrightarrow x-2-(y+1)+2(z-2)=0 \)  (2)

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(1;-1;-1);\text{ }\overrightarrow{AC}=(x;y-1;z-1);\text{ }\overrightarrow{AD}=(4-x;-y-3;3-z) \).

 \( \left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right]=\left( 2y+4z-6;-2x+4z-4;-4x-4y+4 \right) \).

 \( \overrightarrow{AB}.\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right]=2y+4z-6+(-1).(-2x+4z-4)+(-1).(-4x-4y+4)=6x+6y-6 \).

Thể tích khối tứ diện ABCD là: \(V=\frac{1}{6}\left| \overrightarrow{AB}.\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right] \right|=\left| x+y-1 \right|\).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & x-2=a \\  & y+1=b \\  & z-2=c \\ \end{align} \right. \). Từ (1) và (2) ta có hệ:  \( \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4 \\  & a-b+2c=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a-b=-2c \\  & ab=\frac{4-5{{c}^{2}}}{2} \\ \end{align} \right. \).

 \( V=\left| x+y-1 \right|=\left| x-2+y+1 \right|=\left| a+b \right|=\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+4ab} \)

 \( =\sqrt{4{{c}^{2}}+2(4-5{{c}^{2}})}=\sqrt{8-6{{c}^{2}}}\le 2\sqrt{2} \).

Vậy giá trị lớn nhất của V là  \( 2\sqrt{2} \) khi và chỉ khi:

 \( \left\{ \begin{align}  & z-2=0 \\  & x-2=y+1 \\  & {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=2+\sqrt{2};y=-1+\sqrt{2};z=2 \\  & x=2-\sqrt{2};y=-1-\sqrt{2};z=2 \\ \end{align} \right. \).