Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=9 \), điểm A(0;0;2). Mặt phẳng (P) qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất, phương trình (P) là:
A. \( (P):x-2y+3z-6=0 \)
B. \( (P):x+2y+3z-6=0 \)
C. \( (P):3x+2y+2z-4=0 \)
D. \( (P):x+2y+z-2=0 \)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính \( R=3 \).
Ta có: \( IA=\sqrt{6}<R\Rightarrow A \) nằm trong mặt cầu (S).
Do đó, mặt phẳng (P) qua A luôn cắt mặt cầu (S) theo tiết diện là hình tròn (C) có bán kính \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}} \) (với H là hình chiếu của I(1;2;3) trên (P)).
Ta luôn có \( IA\ge IH\Rightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}\ge \sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Rightarrow r\ge \sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}} \).
Diện tích của hình tròn (C) nhỏ nhất khi bán kính r nhỏ nhất, tức là \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Leftrightarrow H\equiv A \).
Khi đó \( IA\bot (P)\Rightarrow \) Mặt phẳng (P) nhận \( \overrightarrow{IA}=(-1;-2;-1) \) làm một vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng \( (P):-x-2y-(z-2)=0\Leftrightarrow x+2y+z-2=0 \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!