Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=9 \), điểm A(0;0;2). Mặt phẳng (P) qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất, phương trình (P) là:
A. \( (P):x-2y+3z-6=0 \)
B. \( (P):x+2y+3z-6=0 \)
C. \( (P):3x+2y+2z-4=0 \)
D. \( (P):x+2y+z-2=0 \)
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính \( R=3 \).
Ta có: \( IA=\sqrt{6}<R\Rightarrow A \) nằm trong mặt cầu (S).
Do đó, mặt phẳng (P) qua A luôn cắt mặt cầu (S) theo tiết diện là hình tròn (C) có bán kính \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}} \) (với H là hình chiếu của I(1;2;3) trên (P)).
Ta luôn có \( IA\ge IH\Rightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}\ge \sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Rightarrow r\ge \sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}} \).
Diện tích của hình tròn (C) nhỏ nhất khi bán kính r nhỏ nhất, tức là \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Leftrightarrow H\equiv A \).
Khi đó \( IA\bot (P)\Rightarrow \) Mặt phẳng (P) nhận \( \overrightarrow{IA}=(-1;-2;-1) \) làm một vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng \( (P):-x-2y-(z-2)=0\Leftrightarrow x+2y+z-2=0 \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!