cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=9, điểm A(0;0;2). Mặt phẳng (P) qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất, phương trình (P) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=9 \), điểm A(0;0;2). Mặt phẳng (P) qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất, phương trình (P) là:

A. \( (P):x-2y+3z-6=0 \)

B. \( (P):x+2y+3z-6=0 \)

C. \( (P):3x+2y+2z-4=0 \)

D.  \( (P):x+2y+z-2=0 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính  \( R=3 \).

Ta có:  \( IA=\sqrt{6}<R\Rightarrow A  \) nằm trong mặt cầu (S).

Do đó, mặt phẳng (P) qua A luôn cắt mặt cầu (S) theo tiết diện là hình tròn (C) có bán kính  \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}} \) (với H là hình chiếu của I(1;2;3) trên (P)).

Ta luôn có  \( IA\ge IH\Rightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}\ge \sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Rightarrow r\ge \sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}} \).

Diện tích của hình tròn (C) nhỏ nhất khi bán kính r nhỏ nhất, tức là  \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Leftrightarrow H\equiv A  \).

Khi đó  \( IA\bot (P)\Rightarrow  \) Mặt phẳng (P) nhận  \( \overrightarrow{IA}=(-1;-2;-1) \) làm một vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng  \( (P):-x-2y-(z-2)=0\Leftrightarrow x+2y+z-2=0 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

 

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *