Cho hàm số y=asinx+bcosx+x với a, b là các tham số thực. Điều kiện của a, b để hàm số đồng biến trên R

Cho hàm số  \( y=asinx+bcosx+x \) với a, b là các tham số thực. Điều kiện của a, b để hàm số đồng biến trên R là:

A. \( \forall a,b\in R \)

B. \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 1 \)

C.\( a=b=\frac{\sqrt{2}}{2} \)                   

D. \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \)  \( \Leftrightarrow {y}’=a\cos x-b\sin x+1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \) (*)

Ta có:  \({{\left( a\cos x-b\sin x \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow -\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le a\cos x-b\sin x\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \)

 \( \Leftrightarrow 1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le a\cos x-b\sin x+1\le 1+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \) hay  \( \left( a\cos x-b\sin x+1 \right)\in \left[ 1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}};1+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right] \).

Khi đó (*)\(\Leftrightarrow 1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\ge 0\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le 1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 1\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hai hàm số f(x)=x+msinx và g(x)=(m−3)x−(2m+1)cosx. Tất cả các giá trị của m làm cho hàm số f(x) đồng biến trên R và g(x) nghịch biến trên R

Cho hai hàm số \(f\left( x \right)=x+msinx\) và \(g\left( x \right)=\left( m-3 \right)x-\left( 2m+1 \right)cosx\). Tất cả các giá trị của m làm cho hàm số f(x) đồng biến trên R và g(x) nghịch biến trên R là:

A. \(m=-1\)

B. \(m=0\)

C. \(-1\le m\le 0\)           

D. \(-1\le m\le \frac{2}{3}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Điều kiện bài toán tương đương: \(\left\{ \begin{align}& {f}'(x)=1+m\cos x\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \\ & {g}'(x)=m-3+(2m+1)\sin x\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& h(t)=mt+1\ge 0,\forall t=\cos x\in \left[ -1;1 \right] \\ & l(t)=(2m+1)t+m-3,\forall t=\sin x\in \left[ -1;1 \right] \\\end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & h(-1)\ge 0 \\& h(1)\ge 0 \\ & l(-1)\le 0 \\ & l(1)\le 0 \\\end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m+1\ge 0 \\& m+1\ge 0 \\ & -m-4\le 0 \\& 3m-2\le 0 \\\end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le 1 \\& m\ge -1 \\& m\ge -4 \\& m\le \frac{2}{3} \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow -1\le m\le \frac{2}{3} \)

Chú ý: Trong bài toán trên ta đã dùng tính chất dấu của nhị thức bậc nhất như sau:

Cho nhị thức bậc nhất  \( f(x)=ax+b \), khi đó:

+ \( f(x)\ge 0,\forall x\in \left[ \alpha ;\beta  \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& f(\alpha )\ge 0 \\& f(\beta )\ge 0 \\\end{align} \right. \)

+ \( f(x)\le 0,\forall x\in \left[ \alpha ;\beta  \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& f(\alpha )\le 0 \\& f(\beta )\le 0 \\\end{align} \right. \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=(x2+1−−−−−√−x)3−m(2×2−2xx2+1−−−−−√+1)−m−6×2+1√+x−1. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên R

Cho hàm số  \( y={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}^{3}}-m\left( 2{{x}^{2}}-2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1 \right)-\frac{m-6}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}-1 \). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên R?

A. 5

B. vô số

C. 2                                   

D. 3

Hướng dẫn giải: 

Đáp án D.

Biến đổi hàm số về:  \( y={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}^{3}}-m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)-(m-6)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)-1 \)

Đặt  \( t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x=f(x) \)

Ta có:  \( {f}'(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-1=\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}<\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{x-\left| x \right|}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \).

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số  \( t=f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \) nghịch biến trên  \( \mathbb{R} \).

Suy ra t > 0.

Nên yêu cầu bài toán sẽ thay đổi nghịch biến \( \to \)  đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành: “Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số  \( y={{t}^{3}}-m{{t}^{2}}-(m-6)t-1 \) đồng biến trên khoảng  \( \left( 0;+\infty  \right) \)”.

Khi đó, bài toán tương đương: \( {y}’=3{{t}^{2}}-2mt-m+6\ge 0,\forall t\in \left( 0;+\infty  \right) \)

\( \Leftrightarrow m(2t+1)\le 3{{t}^{2}}+6,\forall t\in \left( 0;+\infty  \right) \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{3{{t}^{2}}+6}{2t+1}=g(t),\forall t\in \left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow m\le \underset{t\in \left( 0;+\infty  \right)}{\mathop \min g(t)}\, \) (*)

Ta có:  \( {g}'(t)=\frac{6{{t}^{2}}+6t-12}{{{(2t+1)}^{2}}} \)

 \( {g}'(t)=0\overset{t>0}{\longleftrightarrow}t=1 \)

Từ bảng biến thiên, ta có: (*)\( \Leftrightarrow m\le g(1)=3\xrightarrow{m\in \mathbb{N}^{*} }m\in \left\{ 1;2;3 \right\} \).

Chú ý: Ở bài toán này bước đầu ta đã biến đổi \(\frac{m}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}=\frac{m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}=m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)\).

 

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=(m−1)x−1√+2x−1√+m. Tìm tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (17;37)

Cho hàm số \(y=\frac{\left( m-1 \right)\sqrt{x-1}+2}{\sqrt{x-1}+m}\). Tìm tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (17;37).

A. \(m\in \left[ -4;-1 \right)\)

B. \(m\in \left( -\infty ;-6 \right]\cup \left[ -4;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\)

C.\(m\in \left( -\infty ;-4 \right]\cup \left( 2;+\infty  \right)\)                                        

D.\(m\in \left( -1;2 \right)\)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án B.

Đặt \( t=\sqrt{x-1}\overset{x\in (17;37)}{\rightarrow}t\in (4;6) \). Do  \( t=\sqrt{x-1} \) đồng biến trên khoảng (17;37).

Nên bài toán phát biểu lại là: “Tìm tập tất cả các giá trị của m để hàm số \( y=\frac{(m-1)t+2}{t+2} \) đồng biến trên khoảng (4;6)”.

Khi đó, yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow {y}’=\frac{{{m}^{2}}-m-2}{{{(t+m)}^{2}}}>0,\forall t\in (4;6)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& t=-m\notin (4;6) \\& {{m}^{2}}-m-2>0 \\\end{align} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} -m\le 4 \\ -m\ge 6 \end{matrix} \right. \\ \left [ \begin{matrix} m<-1 \\ m>2 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} m\ge -4 \\ m\le -6 \end{matrix} \right. \\ \left [ \begin{matrix} m<-1 \\ m>2 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;-6 \right]\cup \left[ -4;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right) \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=(m−sinx)/cos^2x nghịch biến trên (0;π/6)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số  \( y=\frac{m-\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \) nghịch biến trên  \( \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \).

A. m > 1

B. \(m\le \frac{5}{2} \)       

C. \( m\le \frac{5}{4} \)  

D. m < 2

Hướng dẫn giải:

 Đáp án C.

Đặt \( t=\sin x \overset{x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right)}{\rightarrow} t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right) \).

Vì sinx đồng biến trên \( \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \) nên bài toán được phát biểu lại là:

“Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số  \( f(t)=\frac{m-t}{{{t}^{2}}-1} \) nghịch biến trên khoảng  \( \left( 0;\frac{1}{2} \right) \)”.

Khi đó:  \( {f}'(t)=-\frac{{{t}^{2}}-2mt+1}{{{({{t}^{2}}-1)}^{2}}}\ge 0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right) \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}+1}{2t}=g(t),\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;\frac{1}{2} \right]}{\mathop \min g(t)}\, \)

Xét hàm số \(g(t)=\frac{{{t}^{2}}+1}{2t}\) với \(t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right]\) (do hàm số liên tục tại \(t=\frac{1}{2}\)).

Ta có: \({g}'(t)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2{{t}^{2}}}=\frac{(t-1)(t+1)}{2{{t}^{2}}}<0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right]\), suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( 0;\frac{1}{2} \right]\)

Suy ra \(\underset{\left( 0;\frac{1}{2} \right]}{\mathop \min g(t)}\,=g\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{5}{4}\).

Vậy \(m\le \frac{5}{4}\).

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=(tanx−2)/(tanx−m) đồng biến trên khoảng (0;π/4)

(Đề minh họa THPTQG – 2017 lần 1) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số  \( y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m} \) đồng biến trên khoảng  \( \left( 0;\frac{\pi }{4} \right) \).

A.  \( m\le 0 \) hoặc  \( 1\le m<2 \)

B. \( m\le 0 \)

C. \( 1\le m<2 \)

D. \( m\ge 2 \).

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Đặt\( t=\tan x\overset{x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)}{\rightarrow}t\in (0;1) \).

Do \( t=\tan x \) đồng biến trên khoảng \( \left( 0;\frac{\pi }{4} \right) \) (có thể dùng hàm số kiểm tra: \( {t}’=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}>0,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right) \))

Nên yêu cầu bài toán sẽ giữ nguyên đồng biến  \( \to \) đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành:

“Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số  \( y=\frac{t-2}{t-m} \) đồng biến trên khoảng (0;1)”.

Bài toán tương đương:  \( {y}’=\frac{-m+2}{{{(t-m)}^{2}}}>0,\forall t\in (0;1) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m+2>0 \\& m\notin (0;1) \\\end{align} \right. \)\ \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<2 \\ \left [ \begin{matrix} m\le 0 \\ m\ge 1 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m\le 0 \\& 1\le m<2 \\\end{align} \right. \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=(sinx+m)/(sinx−m) nghịch biến trên khoảng (π2;π)

Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số  \( y=\frac{sinx+m}{\sin x-m} \) nghịch biến trên khoảng  \( \left( \frac{\pi }{2};\pi \right) \) là:

A. m < 0

B.  \( m\le 0 \) hoặc \( m\ge 1 \)                                        

C.  \( 0<m\le 1 \)                      

D. m > -1

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Đặt \( t=\sin x\overset{x\in \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right)}{\rightarrow}t\in (0;1) \).

Do  \( t=\sin x \) nghịch biến trên khoảng  \( \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right) \). (có thể dùng hàm số kiểm tra:  \({t}’=\cos x<0,\forall x\in \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right) \))

Nên yêu cầu bài toán sẽ chuyển đổi từ nghịch biến  \( \to \)  đồng biến hay bài toán phát biểu lại là:

“Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \( y=\frac{t+m}{t-m} \) đồng biến trên khoảng (0;1)”

Khi đó, yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=\frac{-2m}{{{(t-m)}^{2}}}>0,\forall t\in (0;1) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& t=m\notin (0;1) \\ & -2m>0 \\\end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} m\le 0 \\ m\ge 1 \end{matrix} \right. \\ m<0\end{matrix}\right. \)\( \Leftrightarrow m<0 \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Hàm số y=(2mcosx−m)/(4cosx+m )đồng biến trên khoảng (π;3π/2) thì điều kiện đầy đủ của tham số m

Hàm số  \( y=\frac{2m\cos x-m}{4\cos x+m} \) đồng biến trên khoảng  \( \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right) \) thì điều kiện đầy đủ của tham số m là

A. m < -2 hoặc m > 0

B. m < -2 hoặc  \( m\ge 4 \)

C. \( -2<m\le 4 \)

D.  \( -2 < m < 0 \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án B.

Đặt  \(t=\cos x\overset{x\in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)}{\rightarrow}t\in (-1;0) \).

Do \( t=\cos x \) đồng biến trên khoảng \( \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right) \) (có thể dùng hàm số kiểm tra:  \( {t}’=-\sin x>0,\forall x\in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right) \)).

Nên yêu cầu bài toán sẽ giữ nguyên đồng biến \( \to  \) đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành:

“Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \( y=\frac{2mt-m}{4t+m} \) đồng biến trên khoảng  \( (-1;0) \)”.

Khi đó, yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=\frac{2{{m}^{2}}+4m}{{{(4t+m)}^{2}}}>0,\forall t\in (-1;0) \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& t=-\frac{m}{4}\notin (-1;0) \\& 2{{m}^{2}}+4m>0 \\\end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} -\frac{m}{4}\le -1 \\ -\frac{m}{4}\ge 0 \end{matrix} \right. \\ \left [ \begin{matrix} m<-2 \\ m>0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} m\ge 4\\ m\le 0 \end{matrix} \right. \\ \left [ \begin{matrix} m<-2 \\ m>0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m<-2 \\ & m\ge 4 \\\end{align} \right.\)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Hàm số y=(x^2+m)/(x^2+1) đồng biến trên R khi giá trị của m

Hàm số \( y=\frac{{{x}^{2}}+m}{{{x}^{2}}+1} \) đồng biến trên R khi giá trị của m là:

A. \( m=1 \)

B.\( m>1 \)

C. \( m\le 1 \)        

D. \( m\in \emptyset \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án D.

Ta có:  \({y}’=\frac{2x(1-m)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \);

+ Với m = 1 \( \Rightarrow {y}’=0 \), khi đó hàm số \( y=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {y}’=0,\forall x\in \mathbb{R} \), suy ra m = 1 (loại).

Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \) khi và chỉ khi \( {y}’=\frac{2x(1-m)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \mathbb{R} \)\( \Leftrightarrow 2x(1-m)>0,\forall x\in \mathbb{R} \) (*)

+ Với m > 1 \( \Rightarrow 1-m<0 \), khi đó  \( (*)\Leftrightarrow x<0,\forall x\in \mathbb{R} \) (không đúng)

+ Với m < 1 \(\Rightarrow 1-m>0 \), khi đó \( (*)\Leftrightarrow x>0,\forall x\in \mathbb{R} \) (không đúng)

Vậy không có giá trị của m làm cho hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tất cả các giá trị của a để hàm số y=ax−sinx+3 đồng biến trên R

Tất cả các giá trị của a để hàm số \( y=ax-\sin x+3 \) đồng biến trên R là:

A.  \( a=1 \)

B. \( a=-1 \)

C. \( a\ge 1 \)          

D. \( a\ge -1 \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án C.

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=a-\cos x\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \) \( \Leftrightarrow \cos x\le a,\forall x\in \mathbb{R} \)

\( \Leftrightarrow a\ge \max (\cos x)=1\Leftrightarrow a\ge 1 \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=−x^3−(m−1)x^2+(2m^2+3m+2)x−1 với m là tham số thực. Trong các điều kiện sau của m, đâu là điều kiện đầy đủ nhất để hàm số nghịch biến trên (2;+∞)

Cho hàm số \( y=-{{x}^{3}}-(m-1){{x}^{2}}+\left( 2{{m}^{2}}+3m+2 \right)x-1 \) với m là tham số thực. Trong các điều kiện sau của m, đâu là điều kiện đầy đủ nhất để hàm số nghịch biến trên  \( \left( 2;+\infty \right) \)?

A.  \( -\frac{3}{2}\le m\le 2 \)

B. \( m\in \mathbb{R} \)

C. \( m\ge 2 \)

D. \( m=-\frac{3}{2}\vee m=2 \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=-3{{x}^{2}}-2(m-1)x+2{{m}^{2}}+3m+2\le 0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right) \)

\( \Leftrightarrow f(x)=3{{x}^{2}}+2(m-1)x-(2{{m}^{2}}+3m+2)\ge 0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right) \) (*)

Ta có: \({\Delta }’={{(m-1)}^{2}}+3(2{{m}^{2}}+3m+2)=7({{m}^{2}}+m+1)>0,\forall m\in \mathbb{R}\)

Suy ra \( f(x)=0 \) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}=\frac{1-m-\sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}}{3}\) và \({{x}_{2}}=\frac{1-m+\sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}}{3}\) với  \( \forall m\in \mathbb{R} \).

Bảng biến thiên:

Do vậy:  \( {y}’\ge 0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right]\cup \left[ {{x}_{2}};+\infty  \right) \)

Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow \left( 2;+\infty  \right)\subset \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty  \right) \) \( \Leftrightarrow \left( 2;+\infty  \right)\subset \left( {{x}_{2}};+\infty  \right)\Leftrightarrow {{x}_{2}}\le 2 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1-m+\sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}}{3}\le 2 \) \( \Leftrightarrow \sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}\le m+5\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 7({{m}^{2}}+m+1)\le {{(m+5)}^{2}} \\& m+5\ge 0 \\\end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 6{{m}^{2}}-3m-18\le 0 \\& m\ge -5 \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -\frac{3}{2}\le m\le 2 \\ & m\ge -5 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow -\frac{3}{2}\le m\le 2 \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=−x^3+3x^2+3mx−1 (1), với m là tham số thực. Với giá trị m nào để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0;+∞)

(KA,A1 – 2013) Cho hàm số  \( y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3mx-1 \) (1), với m là tham số thực. Với giá trị m nào để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng  \( \left( 0;+\infty \right) \)

A. \( m\le -1 \)

B. \( m>-1 \)

C. \( m>2 \)                         

D. \( m>3 \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {y}’=-3{{x}^{2}}+6x+3m\le 0,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \)

\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-m\ge 0\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}}-2x=g(x),\forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \)

\( \Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop \min g(x)}\, \)

Ta có: \( {g}'(x)=2x-2; \)

\( {g}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên:

Khi đó: \( m\le \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop \min g(x)}\,=-1\Leftrightarrow m\le -1 \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong tất cả các giá trị của m để hàm số y=−2x^3+3(m+1)x^2−6mx−1 đồng biến trên khoảng (−2;0) thì m=mO là giá trị lớn nhất

Trong tất cả các giá trị của m để hàm số  \( y=-2{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}-6mx-1 \) đồng biến trên khoảng  \( \left( -2;0 \right) \) thì \( m={{m}_{O}} \) là giá trị lớn nhất. Hỏi trong các số sau, đâu là số gần mO nhất?

A. 2

B. -1

C. 4                                   

D. -4

Hướng dẫn giải:

 Đáp án B.

Yêu cầu bài toán tương đương: \({y}’=-6{{x}^{2}}+6(m+1)x-6m\ge 0,\forall x\in (-2;0)\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-(m+1)x+m\le 0,\forall x\in (-2;0)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-x+m\le 0\)

\(\Leftrightarrow m(1-x)\le -{{x}^{2}}+x\Leftrightarrow m\le \frac{-{{x}^{2}}+x}{1-x},\forall x\in (-2;0)\)

\(\Leftrightarrow m\le \underset{[-2;0]}{\mathop \min f(x)}\,=-2\)

\( \Rightarrow m={{m}_{0}}=-2 \) gần -1 nhất.

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y=2/3x^3−(2m−3)x^2+2(m^2−3m)x+1 nghịch biến trên khoảng (1;3)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số  \( y=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+2\left( {{m}^{2}}-3m \right)x+1 \) nghịch biến trên khoảng \( \left( 1;3 \right) \).

A. 4

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

 Đáp án C.

Yêu cầu bài toán tương đương:

\( {y}’=2{{x}^{2}}-2(2m-3)x+2({{m}^{2}}-3m)\le 0,\forall x\in (1;3) \)

\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-(2m-3)x+{{m}^{2}}-3m\le 0,\forall x\in (1;3) \)\( \Leftrightarrow (x-m)(x-m+3)\le 0,\forall x\in (1;3) \)

\( \Leftrightarrow m-3\le x\le m,\forall x\in (1;3) \) \( \Leftrightarrow (1;3)\subset \left[ m-3;m \right]\Leftrightarrow m-3\le 1<3\le m \)

\( \Leftrightarrow 3\le m\le 4\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 3;4 \right\} \)

Suy ra có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y=−1/3x^3+(m−1)x^2+(m+3)x−10 đồng biến trên khoảng (0;3)

Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số  \( y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-10 \) đồng biến trên khoảng  \( \left( 0;3 \right) \).

A. \( m\ge \frac{12}{7} \)

B. \( m<\frac{12}{7} \)

C. \( m>\frac{12}{7} \)              

D. \( \forall m\in \mathbb{R} \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {y}’=-{{x}^{2}}+2(m-1)x+(m+3)\ge 0,\forall x\in (0;3) \)

\(\Leftrightarrow (2x+1)m\ge {{x}^{2}}+2x-3,\forall x\in (0;3)\) (vì 2x +1 > 0 với \(\forall x\in (0;3)\))

\(\Leftrightarrow m\ge \frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1}=f(x),\forall x\in (0;3)\Leftrightarrow m\ge \underset{[0;3]}{\mathop \max f(x)}\,\)

Ta có: \( {f}'(x)=\frac{2{{x}^{2}}+2x+8}{{{(2x+1)}^{2}}}>0,\forall x\in \left[ 0;3 \right] \)

 \( \Rightarrow f(x) \) đồng biến trên  \( \left[ 0;3 \right] \)

\( \Rightarrow \underset{[0;3]}{\mathop \max f(x)}\,=f(3)=\frac{12}{7}\Leftrightarrow m\ge \frac{12}{7} \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=x^4+(2−m)x^2+4−2m nghịch biến trên (−1;0)

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số  \( y={{x}^{4}}+\left(m-2 \right){{x}^{2}}+4-2m \) nghịch biến trên  \( \left( -1;0 \right) \)

A. m < 2

B. \(m\le 2 \)                   

C. \( m\ge 4 \)                     

D. m > 4

Hướng dẫn giải:

 Đáp án B.

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=4{{x}^{3}}+2(m-2)x\ge 0,\forall x\in \left( -1;0 \right) \)

\(\Leftrightarrow 2x({{x}^{2}}+m-2)\ge 0,\forall x\in (-1;0)\)\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m-2\le 0,\forall x\in (-1;0)\) (vì 2x < 0 đúng với \(\forall x\in (-1;0)\))

\(\Leftrightarrow m\le 2-{{x}^{2}}=f(x),\forall x\in (-1;0)\)\(\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{min }}\,f(x)=f(0)=2\Leftrightarrow m\le 2\)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=(mx+4)/(x+m). Điều kiện đầy đủ của m để hàm số nghịch biến trên (−∞;1]

Cho hàm số \( y=\frac{mx+4}{x+m} \) . Điều kiện đầy đủ của m để hàm số nghịch biến trên \( \left( -\infty ;1 \right] \) là:

A. \( -2\le m<1 \)

B. \( -2\le m\le 1 \)

C. \( -2<m<2 \)                   

D. \( -2<m<-1 \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}} \) với  \( x\ne -m \).

Để hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;1 \right] \) thì \( {y}'<0,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right] \) \( \Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}}<0,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right] \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m\notin \left( -\infty ;1 \right] \\& {{m}^{2}}-4<0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m > 1 \\& -2< m <2 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m <-1 \\ & -2< m<2 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow -2 < m <-1 \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=(mx+4)/(x+m) với m là tham số thực. Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞)

Cho hàm số  \( y=\frac{mx+4}{x+m} \) với m là tham số thực. Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( 2;+\infty \right) \)

A. \( m>2 \)

B. \( m>4 \)

C. \( m<1 \)

D.  \( m<-1 \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Ta có: \( {y}’=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}} \) với  \( x\ne -m \). Để hàm số đồng biến trên khoảng \( \left( 2;+\infty  \right) \) thì:

\({y}’>0,\left( 2;+\infty  \right)\Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m\notin \left( 2;+\infty  \right) \\& {{m}^{2}}-4>0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m\le 2 \\& m<-2\vee m>2 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\ge -2 \\& m<-2\vee m>2 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow m>2 \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tất cả các giá trị thực của m để hàm số y=(mx+3m−4)/(x−m) đồng biến trên khoảng (−1;2) là

Tất cả các giá trị thực của m để hàm số  \( y=\frac{mx+3m-4}{x-m} \) đồng biến trên khoảng  \( \left( -1;2 \right) \) là

A.  \( -4<m\le -1 \)

B. \(-4\le m<1 \)

C. \( m\le -1\vee m\ge 2 \)

D. \( m<-4\vee m\ge 2 \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Yêu cầu bài toán tương đương:  \( {y}’=\frac{-{{m}^{2}}-3m+4}{{{(x-m)}^{2}}}>0 \), đúng với  \( \forall x\in \left( -1;2 \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=m\notin \left( -1;2 \right) \\& -{{m}^{2}}-3m+4>0 \\\end{align} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} m\le -1 \\ m\ge 2 \end{matrix} \right. \\ -4 < m <1 \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow -4 < m\le -1 \)