Cho hàm số y=asinx+bcosx+x với a, b là các tham số thực. Điều kiện của a, b để hàm số đồng biến trên R

Cho hàm số  \( y=asinx+bcosx+x \) với a, b là các tham số thực. Điều kiện của a, b để hàm số đồng biến trên R là:

A. \( \forall a,b\in R \)

B. \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 1 \)

C.\( a=b=\frac{\sqrt{2}}{2} \)                   

D. \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \)  \( \Leftrightarrow {y}’=a\cos x-b\sin x+1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \) (*)

Ta có:  \({{\left( a\cos x-b\sin x \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow -\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le a\cos x-b\sin x\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \)

 \( \Leftrightarrow 1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le a\cos x-b\sin x+1\le 1+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \) hay  \( \left( a\cos x-b\sin x+1 \right)\in \left[ 1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}};1+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right] \).

Khi đó (*)\(\Leftrightarrow 1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\ge 0\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le 1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 1\)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hai hàm số f(x)=x+msinx và g(x)=(m−3)x−(2m+1)cosx. Tất cả các giá trị của m làm cho hàm số f(x) đồng biến trên R và g(x) nghịch biến trên R

Cho hai hàm số \(f\left( x \right)=x+msinx\) và \(g\left( x \right)=\left( m-3 \right)x-\left( 2m+1 \right)cosx\). Tất cả các giá trị của m làm cho hàm số f(x) đồng biến trên R và g(x) nghịch biến trên R là:

A. \(m=-1\)

B. \(m=0\)

C. \(-1\le m\le 0\)           

D. \(-1\le m\le \frac{2}{3}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Điều kiện bài toán tương đương: \(\left\{ \begin{align}& {f}'(x)=1+m\cos x\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \\ & {g}'(x)=m-3+(2m+1)\sin x\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& h(t)=mt+1\ge 0,\forall t=\cos x\in \left[ -1;1 \right] \\ & l(t)=(2m+1)t+m-3,\forall t=\sin x\in \left[ -1;1 \right] \\\end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & h(-1)\ge 0 \\& h(1)\ge 0 \\ & l(-1)\le 0 \\ & l(1)\le 0 \\\end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m+1\ge 0 \\& m+1\ge 0 \\ & -m-4\le 0 \\& 3m-2\le 0 \\\end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le 1 \\& m\ge -1 \\& m\ge -4 \\& m\le \frac{2}{3} \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow -1\le m\le \frac{2}{3} \)

Chú ý: Trong bài toán trên ta đã dùng tính chất dấu của nhị thức bậc nhất như sau:

Cho nhị thức bậc nhất  \( f(x)=ax+b \), khi đó:

+ \( f(x)\ge 0,\forall x\in \left[ \alpha ;\beta  \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& f(\alpha )\ge 0 \\& f(\beta )\ge 0 \\\end{align} \right. \)

+ \( f(x)\le 0,\forall x\in \left[ \alpha ;\beta  \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& f(\alpha )\le 0 \\& f(\beta )\le 0 \\\end{align} \right. \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hàm số y=(x2+1−−−−−√−x)3−m(2×2−2xx2+1−−−−−√+1)−m−6×2+1√+x−1. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên R

Cho hàm số  \( y={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}^{3}}-m\left( 2{{x}^{2}}-2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1 \right)-\frac{m-6}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}-1 \). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên R?

A. 5

B. vô số

C. 2                                   

D. 3

Hướng dẫn giải: 

Đáp án D.

Biến đổi hàm số về:  \( y={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}^{3}}-m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)-(m-6)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)-1 \)

Đặt  \( t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x=f(x) \)

Ta có:  \( {f}'(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-1=\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}<\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{x-\left| x \right|}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \).

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số  \( t=f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \) nghịch biến trên  \( \mathbb{R} \).

Suy ra t > 0.

Nên yêu cầu bài toán sẽ thay đổi nghịch biến \( \to \)  đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành: “Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số  \( y={{t}^{3}}-m{{t}^{2}}-(m-6)t-1 \) đồng biến trên khoảng  \( \left( 0;+\infty  \right) \)”.

Khi đó, bài toán tương đương: \( {y}’=3{{t}^{2}}-2mt-m+6\ge 0,\forall t\in \left( 0;+\infty  \right) \)

\( \Leftrightarrow m(2t+1)\le 3{{t}^{2}}+6,\forall t\in \left( 0;+\infty  \right) \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{3{{t}^{2}}+6}{2t+1}=g(t),\forall t\in \left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow m\le \underset{t\in \left( 0;+\infty  \right)}{\mathop \min g(t)}\, \) (*)

Ta có:  \( {g}'(t)=\frac{6{{t}^{2}}+6t-12}{{{(2t+1)}^{2}}} \)

 \( {g}'(t)=0\overset{t>0}{\longleftrightarrow}t=1 \)

Từ bảng biến thiên, ta có: (*)\( \Leftrightarrow m\le g(1)=3\xrightarrow{m\in \mathbb{N}^{*} }m\in \left\{ 1;2;3 \right\} \).

Chú ý: Ở bài toán này bước đầu ta đã biến đổi \(\frac{m}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}=\frac{m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}=m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)\).

 

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hàm số y=(m−1)x−1√+2x−1√+m. Tìm tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (17;37)

Cho hàm số \(y=\frac{\left( m-1 \right)\sqrt{x-1}+2}{\sqrt{x-1}+m}\). Tìm tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (17;37).

A. \(m\in \left[ -4;-1 \right)\)

B. \(m\in \left( -\infty ;-6 \right]\cup \left[ -4;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\)

C.\(m\in \left( -\infty ;-4 \right]\cup \left( 2;+\infty  \right)\)                                        

D.\(m\in \left( -1;2 \right)\)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án B.

Đặt \( t=\sqrt{x-1}\overset{x\in (17;37)}{\rightarrow}t\in (4;6) \). Do  \( t=\sqrt{x-1} \) đồng biến trên khoảng (17;37).

Nên bài toán phát biểu lại là: “Tìm tập tất cả các giá trị của m để hàm số \( y=\frac{(m-1)t+2}{t+2} \) đồng biến trên khoảng (4;6)”.

Khi đó, yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow {y}’=\frac{{{m}^{2}}-m-2}{{{(t+m)}^{2}}}>0,\forall t\in (4;6)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& t=-m\notin (4;6) \\& {{m}^{2}}-m-2>0 \\\end{align} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} -m\le 4 \\ -m\ge 6 \end{matrix} \right. \\ \left [ \begin{matrix} m<-1 \\ m>2 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} m\ge -4 \\ m\le -6 \end{matrix} \right. \\ \left [ \begin{matrix} m<-1 \\ m>2 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;-6 \right]\cup \left[ -4;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right) \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=(m−sinx)/cos^2x nghịch biến trên (0;π/6)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số  \( y=\frac{m-\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \) nghịch biến trên  \( \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \).

A. m > 1

B. \(m\le \frac{5}{2} \)       

C. \( m\le \frac{5}{4} \)  

D. m < 2

Hướng dẫn giải:

 Đáp án C.

Đặt \( t=\sin x \overset{x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right)}{\rightarrow} t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right) \).

Vì sinx đồng biến trên \( \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \) nên bài toán được phát biểu lại là:

“Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số  \( f(t)=\frac{m-t}{{{t}^{2}}-1} \) nghịch biến trên khoảng  \( \left( 0;\frac{1}{2} \right) \)”.

Khi đó:  \( {f}'(t)=-\frac{{{t}^{2}}-2mt+1}{{{({{t}^{2}}-1)}^{2}}}\ge 0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right) \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}+1}{2t}=g(t),\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;\frac{1}{2} \right]}{\mathop \min g(t)}\, \)

Xét hàm số \(g(t)=\frac{{{t}^{2}}+1}{2t}\) với \(t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right]\) (do hàm số liên tục tại \(t=\frac{1}{2}\)).

Ta có: \({g}'(t)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2{{t}^{2}}}=\frac{(t-1)(t+1)}{2{{t}^{2}}}<0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right]\), suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( 0;\frac{1}{2} \right]\)

Suy ra \(\underset{\left( 0;\frac{1}{2} \right]}{\mathop \min g(t)}\,=g\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{5}{4}\).

Vậy \(m\le \frac{5}{4}\).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y=(tanx−2)/(tanx−m) đồng biến trên khoảng (0;π/4)

(Đề minh họa THPTQG – 2017 lần 1) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số  \( y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m} \) đồng biến trên khoảng  \( \left( 0;\frac{\pi }{4} \right) \).

A.  \( m\le 0 \) hoặc  \( 1\le m<2 \)

B. \( m\le 0 \)

C. \( 1\le m<2 \)

D. \( m\ge 2 \).

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Đặt\( t=\tan x\overset{x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)}{\rightarrow}t\in (0;1) \).

Do \( t=\tan x \) đồng biến trên khoảng \( \left( 0;\frac{\pi }{4} \right) \) (có thể dùng hàm số kiểm tra: \( {t}’=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}>0,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right) \))

Nên yêu cầu bài toán sẽ giữ nguyên đồng biến  \( \to \) đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành:

“Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số  \( y=\frac{t-2}{t-m} \) đồng biến trên khoảng (0;1)”.

Bài toán tương đương:  \( {y}’=\frac{-m+2}{{{(t-m)}^{2}}}>0,\forall t\in (0;1) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m+2>0 \\& m\notin (0;1) \\\end{align} \right. \)\ \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<2 \\ \left [ \begin{matrix} m\le 0 \\ m\ge 1 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m\le 0 \\& 1\le m<2 \\\end{align} \right. \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=(sinx+m)/(sinx−m) nghịch biến trên khoảng (π2;π)

Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số  \( y=\frac{sinx+m}{\sin x-m} \) nghịch biến trên khoảng  \( \left( \frac{\pi }{2};\pi \right) \) là:

A. m < 0

B.  \( m\le 0 \) hoặc \( m\ge 1 \)                                        

C.  \( 0<m\le 1 \)                      

D. m > -1

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Đặt \( t=\sin x\overset{x\in \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right)}{\rightarrow}t\in (0;1) \).

Do  \( t=\sin x \) nghịch biến trên khoảng  \( \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right) \). (có thể dùng hàm số kiểm tra:  \({t}’=\cos x<0,\forall x\in \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right) \))

Nên yêu cầu bài toán sẽ chuyển đổi từ nghịch biến  \( \to \)  đồng biến hay bài toán phát biểu lại là:

“Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \( y=\frac{t+m}{t-m} \) đồng biến trên khoảng (0;1)”

Khi đó, yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=\frac{-2m}{{{(t-m)}^{2}}}>0,\forall t\in (0;1) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& t=m\notin (0;1) \\ & -2m>0 \\\end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} m\le 0 \\ m\ge 1 \end{matrix} \right. \\ m<0\end{matrix}\right. \)\( \Leftrightarrow m<0 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hàm số y=(2mcosx−m)/(4cosx+m )đồng biến trên khoảng (π;3π/2) thì điều kiện đầy đủ của tham số m

Hàm số  \( y=\frac{2m\cos x-m}{4\cos x+m} \) đồng biến trên khoảng  \( \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right) \) thì điều kiện đầy đủ của tham số m là

A. m < -2 hoặc m > 0

B. m < -2 hoặc  \( m\ge 4 \)

C. \( -2<m\le 4 \)

D.  \( -2 < m < 0 \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án B.

Đặt  \(t=\cos x\overset{x\in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)}{\rightarrow}t\in (-1;0) \).

Do \( t=\cos x \) đồng biến trên khoảng \( \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right) \) (có thể dùng hàm số kiểm tra:  \( {t}’=-\sin x>0,\forall x\in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right) \)).

Nên yêu cầu bài toán sẽ giữ nguyên đồng biến \( \to  \) đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành:

“Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \( y=\frac{2mt-m}{4t+m} \) đồng biến trên khoảng  \( (-1;0) \)”.

Khi đó, yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=\frac{2{{m}^{2}}+4m}{{{(4t+m)}^{2}}}>0,\forall t\in (-1;0) \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& t=-\frac{m}{4}\notin (-1;0) \\& 2{{m}^{2}}+4m>0 \\\end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} -\frac{m}{4}\le -1 \\ -\frac{m}{4}\ge 0 \end{matrix} \right. \\ \left [ \begin{matrix} m<-2 \\ m>0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} m\ge 4\\ m\le 0 \end{matrix} \right. \\ \left [ \begin{matrix} m<-2 \\ m>0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m<-2 \\ & m\ge 4 \\\end{align} \right.\)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hàm số y=(x^2+m)/(x^2+1) đồng biến trên R khi giá trị của m

Hàm số \( y=\frac{{{x}^{2}}+m}{{{x}^{2}}+1} \) đồng biến trên R khi giá trị của m là:

A. \( m=1 \)

B.\( m>1 \)

C. \( m\le 1 \)        

D. \( m\in \emptyset \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án D.

Ta có:  \({y}’=\frac{2x(1-m)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \);

+ Với m = 1 \( \Rightarrow {y}’=0 \), khi đó hàm số \( y=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {y}’=0,\forall x\in \mathbb{R} \), suy ra m = 1 (loại).

Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \) khi và chỉ khi \( {y}’=\frac{2x(1-m)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \mathbb{R} \)\( \Leftrightarrow 2x(1-m)>0,\forall x\in \mathbb{R} \) (*)

+ Với m > 1 \( \Rightarrow 1-m<0 \), khi đó  \( (*)\Leftrightarrow x<0,\forall x\in \mathbb{R} \) (không đúng)

+ Với m < 1 \(\Rightarrow 1-m>0 \), khi đó \( (*)\Leftrightarrow x>0,\forall x\in \mathbb{R} \) (không đúng)

Vậy không có giá trị của m làm cho hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tất cả các giá trị của a để hàm số y=ax−sinx+3 đồng biến trên R

Tất cả các giá trị của a để hàm số \( y=ax-\sin x+3 \) đồng biến trên R là:

A.  \( a=1 \)

B. \( a=-1 \)

C. \( a\ge 1 \)          

D. \( a\ge -1 \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án C.

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=a-\cos x\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \) \( \Leftrightarrow \cos x\le a,\forall x\in \mathbb{R} \)

\( \Leftrightarrow a\ge \max (\cos x)=1\Leftrightarrow a\ge 1 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hàm số y=−x^3−(m−1)x^2+(2m^2+3m+2)x−1 với m là tham số thực. Trong các điều kiện sau của m, đâu là điều kiện đầy đủ nhất để hàm số nghịch biến trên (2;+∞)

Cho hàm số \( y=-{{x}^{3}}-(m-1){{x}^{2}}+\left( 2{{m}^{2}}+3m+2 \right)x-1 \) với m là tham số thực. Trong các điều kiện sau của m, đâu là điều kiện đầy đủ nhất để hàm số nghịch biến trên  \( \left( 2;+\infty \right) \)?

A.  \( -\frac{3}{2}\le m\le 2 \)

B. \( m\in \mathbb{R} \)

C. \( m\ge 2 \)

D. \( m=-\frac{3}{2}\vee m=2 \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=-3{{x}^{2}}-2(m-1)x+2{{m}^{2}}+3m+2\le 0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right) \)

\( \Leftrightarrow f(x)=3{{x}^{2}}+2(m-1)x-(2{{m}^{2}}+3m+2)\ge 0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right) \) (*)

Ta có: \({\Delta }’={{(m-1)}^{2}}+3(2{{m}^{2}}+3m+2)=7({{m}^{2}}+m+1)>0,\forall m\in \mathbb{R}\)

Suy ra \( f(x)=0 \) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}=\frac{1-m-\sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}}{3}\) và \({{x}_{2}}=\frac{1-m+\sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}}{3}\) với  \( \forall m\in \mathbb{R} \).

Bảng biến thiên:

Do vậy:  \( {y}’\ge 0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right]\cup \left[ {{x}_{2}};+\infty  \right) \)

Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow \left( 2;+\infty  \right)\subset \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty  \right) \) \( \Leftrightarrow \left( 2;+\infty  \right)\subset \left( {{x}_{2}};+\infty  \right)\Leftrightarrow {{x}_{2}}\le 2 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1-m+\sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}}{3}\le 2 \) \( \Leftrightarrow \sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}\le m+5\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 7({{m}^{2}}+m+1)\le {{(m+5)}^{2}} \\& m+5\ge 0 \\\end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 6{{m}^{2}}-3m-18\le 0 \\& m\ge -5 \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -\frac{3}{2}\le m\le 2 \\ & m\ge -5 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow -\frac{3}{2}\le m\le 2 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hàm số y=−x^3+3x^2+3mx−1 (1), với m là tham số thực. Với giá trị m nào để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0;+∞)

(KA,A1 – 2013) Cho hàm số  \( y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3mx-1 \) (1), với m là tham số thực. Với giá trị m nào để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng  \( \left( 0;+\infty \right) \)

A. \( m\le -1 \)

B. \( m>-1 \)

C. \( m>2 \)                         

D. \( m>3 \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {y}’=-3{{x}^{2}}+6x+3m\le 0,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \)

\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-m\ge 0\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}}-2x=g(x),\forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \)

\( \Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop \min g(x)}\, \)

Ta có: \( {g}'(x)=2x-2; \)

\( {g}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên:

Khi đó: \( m\le \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop \min g(x)}\,=-1\Leftrightarrow m\le -1 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Trong tất cả các giá trị của m để hàm số y=−2x^3+3(m+1)x^2−6mx−1 đồng biến trên khoảng (−2;0) thì m=mO là giá trị lớn nhất

Trong tất cả các giá trị của m để hàm số  \( y=-2{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}-6mx-1 \) đồng biến trên khoảng  \( \left( -2;0 \right) \) thì \( m={{m}_{O}} \) là giá trị lớn nhất. Hỏi trong các số sau, đâu là số gần mO nhất?

A. 2

B. -1

C. 4                                   

D. -4

Hướng dẫn giải:

 Đáp án B.

Yêu cầu bài toán tương đương: \({y}’=-6{{x}^{2}}+6(m+1)x-6m\ge 0,\forall x\in (-2;0)\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-(m+1)x+m\le 0,\forall x\in (-2;0)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-x+m\le 0\)

\(\Leftrightarrow m(1-x)\le -{{x}^{2}}+x\Leftrightarrow m\le \frac{-{{x}^{2}}+x}{1-x},\forall x\in (-2;0)\)

\(\Leftrightarrow m\le \underset{[-2;0]}{\mathop \min f(x)}\,=-2\)

\( \Rightarrow m={{m}_{0}}=-2 \) gần -1 nhất.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y=2/3x^3−(2m−3)x^2+2(m^2−3m)x+1 nghịch biến trên khoảng (1;3)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số  \( y=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+2\left( {{m}^{2}}-3m \right)x+1 \) nghịch biến trên khoảng \( \left( 1;3 \right) \).

A. 4

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

 Đáp án C.

Yêu cầu bài toán tương đương:

\( {y}’=2{{x}^{2}}-2(2m-3)x+2({{m}^{2}}-3m)\le 0,\forall x\in (1;3) \)

\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-(2m-3)x+{{m}^{2}}-3m\le 0,\forall x\in (1;3) \)\( \Leftrightarrow (x-m)(x-m+3)\le 0,\forall x\in (1;3) \)

\( \Leftrightarrow m-3\le x\le m,\forall x\in (1;3) \) \( \Leftrightarrow (1;3)\subset \left[ m-3;m \right]\Leftrightarrow m-3\le 1<3\le m \)

\( \Leftrightarrow 3\le m\le 4\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 3;4 \right\} \)

Suy ra có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y=−1/3x^3+(m−1)x^2+(m+3)x−10 đồng biến trên khoảng (0;3)

Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số  \( y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-10 \) đồng biến trên khoảng  \( \left( 0;3 \right) \).

A. \( m\ge \frac{12}{7} \)

B. \( m<\frac{12}{7} \)

C. \( m>\frac{12}{7} \)              

D. \( \forall m\in \mathbb{R} \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {y}’=-{{x}^{2}}+2(m-1)x+(m+3)\ge 0,\forall x\in (0;3) \)

\(\Leftrightarrow (2x+1)m\ge {{x}^{2}}+2x-3,\forall x\in (0;3)\) (vì 2x +1 > 0 với \(\forall x\in (0;3)\))

\(\Leftrightarrow m\ge \frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1}=f(x),\forall x\in (0;3)\Leftrightarrow m\ge \underset{[0;3]}{\mathop \max f(x)}\,\)

Ta có: \( {f}'(x)=\frac{2{{x}^{2}}+2x+8}{{{(2x+1)}^{2}}}>0,\forall x\in \left[ 0;3 \right] \)

 \( \Rightarrow f(x) \) đồng biến trên  \( \left[ 0;3 \right] \)

\( \Rightarrow \underset{[0;3]}{\mathop \max f(x)}\,=f(3)=\frac{12}{7}\Leftrightarrow m\ge \frac{12}{7} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=x^4+(2−m)x^2+4−2m nghịch biến trên (−1;0)

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số  \( y={{x}^{4}}+\left(m-2 \right){{x}^{2}}+4-2m \) nghịch biến trên  \( \left( -1;0 \right) \)

A. m < 2

B. \(m\le 2 \)                   

C. \( m\ge 4 \)                     

D. m > 4

Hướng dẫn giải:

 Đáp án B.

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=4{{x}^{3}}+2(m-2)x\ge 0,\forall x\in \left( -1;0 \right) \)

\(\Leftrightarrow 2x({{x}^{2}}+m-2)\ge 0,\forall x\in (-1;0)\)\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m-2\le 0,\forall x\in (-1;0)\) (vì 2x < 0 đúng với \(\forall x\in (-1;0)\))

\(\Leftrightarrow m\le 2-{{x}^{2}}=f(x),\forall x\in (-1;0)\)\(\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{min }}\,f(x)=f(0)=2\Leftrightarrow m\le 2\)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hàm số y=(mx+4)/(x+m). Điều kiện đầy đủ của m để hàm số nghịch biến trên (−∞;1]

Cho hàm số \( y=\frac{mx+4}{x+m} \) . Điều kiện đầy đủ của m để hàm số nghịch biến trên \( \left( -\infty ;1 \right] \) là:

A. \( -2\le m<1 \)

B. \( -2\le m\le 1 \)

C. \( -2<m<2 \)                   

D. \( -2<m<-1 \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}} \) với  \( x\ne -m \).

Để hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;1 \right] \) thì \( {y}'<0,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right] \) \( \Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}}<0,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right] \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m\notin \left( -\infty ;1 \right] \\& {{m}^{2}}-4<0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m > 1 \\& -2< m <2 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m <-1 \\ & -2< m<2 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow -2 < m <-1 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hàm số y=(mx+4)/(x+m) với m là tham số thực. Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞)

Cho hàm số  \( y=\frac{mx+4}{x+m} \) với m là tham số thực. Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( 2;+\infty \right) \)

A. \( m>2 \)

B. \( m>4 \)

C. \( m<1 \)

D.  \( m<-1 \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Ta có: \( {y}’=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}} \) với  \( x\ne -m \). Để hàm số đồng biến trên khoảng \( \left( 2;+\infty  \right) \) thì:

\({y}’>0,\left( 2;+\infty  \right)\Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m\notin \left( 2;+\infty  \right) \\& {{m}^{2}}-4>0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m\le 2 \\& m<-2\vee m>2 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\ge -2 \\& m<-2\vee m>2 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow m>2 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tất cả các giá trị thực của m để hàm số y=(mx+3m−4)/(x−m) đồng biến trên khoảng (−1;2) là

Tất cả các giá trị thực của m để hàm số  \( y=\frac{mx+3m-4}{x-m} \) đồng biến trên khoảng  \( \left( -1;2 \right) \) là

A.  \( -4<m\le -1 \)

B. \(-4\le m<1 \)

C. \( m\le -1\vee m\ge 2 \)

D. \( m<-4\vee m\ge 2 \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án A.

Yêu cầu bài toán tương đương:  \( {y}’=\frac{-{{m}^{2}}-3m+4}{{{(x-m)}^{2}}}>0 \), đúng với  \( \forall x\in \left( -1;2 \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=m\notin \left( -1;2 \right) \\& -{{m}^{2}}-3m+4>0 \\\end{align} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} m\le -1 \\ m\ge 2 \end{matrix} \right. \\ -4 < m <1 \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow -4 < m\le -1 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hàm số y=f(3-2x) đồng biến trên khoảng

(THPTQG – 2019 – 103) Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f’(x) như sau:

Hàm số  \( y=f(3-2x) \) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0;2)

B. (2;3)

C.  \( \left( -\infty ;-3 \right) \)

D. (3;4)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’=2{f}'(3-2x)\ge 0\Leftrightarrow {f}'(3-2x)\le 0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 3-2x\le -3 \\& -1\le 3-2x\le 1 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x\ge 3 \\& 1\le x\le 2 \\\end{align} \right. \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hàm số y=f(2-x) đồng biến trên khoảng

(Đề Tham khảo – 2018) Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số  \( y=f(2-x) \) đồng biến trên khoảng

A.  \( \left( 2;+\infty \right) \)

B.  \( \left( -2;1 \right)  \)      

C.  \( \left( -\infty ;-2 \right) \)

D.  \( \left( 1;3 \right) \)

Hướng dẫn giải:

 Đáp án B.

Cách 1:

Ta thấy f’(x) < 0 với \( \left[ \begin{align}& x\in \left( 1;4 \right) \\& x<-1 \\\end{align} \right. \) nên f(x) nghịch biến trên \( \left( 1;4 \right) \) và \( \left( -\infty ;-1 \right) \) suy ra \( g(x)=f(-x) \) đồng biến trên \( \left( -4;-1 \right) \) và \( \left( 1;+\infty  \right) \).

Khi đó  \( f(2-x) \) đồng biến trên khoảng  \( \left( -2;1 \right) \) và  \( \left( 3;+\infty  \right) \).

Cách 2:

Dựa vào đồ thị hàm số \( y={f}'(x) \) ta có \( {f}'(x) < 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x < -1 \\& 1 < x <4 \\\end{align} \right. \)

Ta có: \( {{\left( f(2-x) \right)}^{\prime }}=(2-x{)}’.{f}'(2-x)=-{f}'(2-x) \)

Để hàm số \( y=f(2-x) \) đồng biến thì \( {{\left( f(2-x) \right)}^{\prime }}>0\Leftrightarrow {f}'(2-x)<0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 2-x <-1 \\& 1< 2-x <4 \\
\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x > 3 \\& -2 < x <1 \\\end{align} \right. \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Sách Toán học 12!

Không tìm thấy bài viết nào.