Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 6 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì được 2/5 bể nước. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể.

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 6 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì được \( \frac{2}{5} \) bể nước. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể.

Hướng dẫn giải:

Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi thứ nhất là x (giờ) ( \( x>6 \)), thời gian chảy một mình đầy bể của vòi thứ hai là y (giờ) ( \( y>6 \)).

Trong 1 giờ, vòi I chảy được  \( \frac{1}{x} \) (bể), vòi II chảy được  \( \frac{1}{y} \) (bể).

Vì hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 6 giờ sẽ đầy bể nên ta có phương trình:  \( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6} \).

Vòi I chảy trong 3 giờ và vòi II chảy trong 2 giờ thì được  \( \frac{2}{5} \) bể nước nên ta có phương trình:  \( 3.\frac{1}{x}+2.\frac{1}{y}=\frac{2}{5} \).

Ta có hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6} \\  & \frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{2}{5} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \frac{2}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{3} \\  & \frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{2}{5} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}=\frac{1}{16} \\  & \frac{1}{y}=\frac{1}{10} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=15 \\  & y=10 \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn)

Vậy thời gian chảy một mình dầy bể của vòi thứ nhất là 15 giờ, thời gian chảy một mình đẩy bể của vòi thứ hai là 10 giờ.

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Hai người thợ cùng làm một công việc thì sau 7 giờ 12 phút làm xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 5 giờ và người thứ 2 làm một mình trong 6 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao nhiêu giờ xong công việc đó?

Hai người thợ cùng làm một công việc thì sau 7 giờ 12 phút làm xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 5 giờ và người thứ 2 làm một mình trong 6 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao nhiêu giờ xong công việc đó?

Hướng dẫn giải:

Gọi thời gian người thợ thứ nhất, người thợ thứ hai làm một mình xong công việc lần lượt là x và y (giờ)  \( \left( x>7,2;y>7,2 \right) \).

Trong 1 giờ:

+ Người thợ thứ nhất làm được:  \( \frac{1}{x} \) công việc.

+ Người thợ thứ hai làm được:  \( \frac{1}{y} \) công việc.

+ Cả hai người làm được:  \( \frac{5}{36} \) công việc.

Ta có phương trình:  \( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{36} \).

Sau 5 giờ, người thợ thứ nhất làm được  \( \frac{5}{x} \) (công việc); sau 6 giờ, người thợ thứ hai làm được  \( \frac{6}{y} \) (công việc) và cả hai người khi đó làm được  \( 75%=\frac{3}{4} \) (công việc).

Ta có phương trình:  \( \frac{5}{x}+\frac{6}{y}=\frac{3}{4} \).

Giải hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{36} \\ & \frac{5}{x}+\frac{6}{y}=\frac{3}{4} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \frac{1}{x}=\frac{1}{12} \\  & \frac{1}{y}=\frac{1}{18} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=12 \\  & y=18 \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn)

Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc hết 12 (giờ), người thứ hai làm một mình xong công việc hết 18 (giờ).

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc, một chiếc canô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3 km/h. Sau khi đến B, canô quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách B là 32 km. tính vận tốc của canô?

Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc, một chiếc canô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3 km/h. Sau khi đến B, canô quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách B là 32 km. tính vận tốc của canô?

Hướng dẫn giải:

Gọi x là vận tốc của canô (x > 0).

Lúc đó:  \( x+3\text{ }(km/h) \) là vận tốc cano xuôi dòng,  \( x-3\text{ }(km/h) \) là vận tốc cano ngược dòng.

Ta có:

Thời gian cano đi từ A đến B là:  \( \frac{40}{x+3} \).

Thời gian cano đi từ B đến A gặp chiếc bè trôi là:  \( \frac{32}{x-3} \).

Thời gian bè trôi là:  \( \frac{40-32}{3}=\frac{8}{3} \), cũng là thời gian cano đi từ A đến lúc gặp chiếc bè.

Theo đề, ta có phương trình:  \( \frac{40}{x+3}+\frac{32}{x-3}=\frac{8}{3} \)

 \( \Leftrightarrow 40.3(x-3)+32.3(x+3)=8(x+3)(x-3)\Leftrightarrow 120x-360+96x+288=8{{x}^{2}}-72 \)

 \( \Leftrightarrow 8{{x}^{2}}-216x=0\Leftrightarrow 8x(x-27)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0\text{ }(\ell ) \\  & x=27\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \).

Vậy vận tốc của cano là 27 km/h.

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải hệ phương trình sau: \( \left\{ \begin{align}  & 2\left| x-1 \right|-\sqrt{y+2}=4 \\  & \left| x-1 \right|+3\sqrt{y+2}=9 \\ \end{align} \right. \)

Giải hệ phương trình sau: \( \left\{ \begin{align}  & 2\left| x-1 \right|-\sqrt{y+2}=4 \\  & \left| x-1 \right|+3\sqrt{y+2}=9 \\ \end{align} \right. \).

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( y\ge -2 \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & 2\left| x-1 \right|-\sqrt{y+2}=4 \\  & \left| x-1 \right|+3\sqrt{y+2}=9 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2\left| x-1 \right|-\sqrt{y+2}=4 \\  & 2\left| x-1 \right|+6\sqrt{y+2}=18 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 7\sqrt{y+2}=14 \\ & \left| x-1 \right|=9-3\sqrt{y+2} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \sqrt{y+2}=2 \\  & \left| x+1 \right|=3 \\ \end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y+2=4 \\ \left [ \begin{matrix} x-1=3 \\ x-1=-3 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=2 \\ \left [ \begin{matrix} x=4 \\ x=-2 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \)  (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm  \( (x;y)\in \left\{ (-2;2),(4;2) \right\} \).

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải hệ phương trình: \( \left\{ \begin{align}  & 3x+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}=\frac{19}{3} \\  & 2x-\frac{3}{\sqrt{2y-1}}=3 \\ \end{align} \right. \)

Giải hệ phương trình: \( \left\{ \begin{align}  & 3x+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}=\frac{19}{3} \\  & 2x-\frac{3}{\sqrt{2y-1}}=3 \\ \end{align} \right. \).

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( y>\frac{1}{2} \).

 \( \left\{ \begin{align}  & 3x+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}=\frac{19}{3} \\  & 2x-\frac{3}{\sqrt{2y-1}}=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 9x+\frac{3}{\sqrt{2y-1}}=19 \\  & 2x-\frac{3}{\sqrt{2y-1}}=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 11x=22 \\  & 3x+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}=\frac{19}{3} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=2 \\  & \frac{1}{\sqrt{2y-1}}=\frac{1}{3} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=2 \\  & \sqrt{2y-1}=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=2 \\  & y=5 \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn).

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là  \( (x;y)=(2;5) \).

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải hệ phương trình: \( \left\{ \begin{align}  & \frac{2}{\left| x-2 \right|}+\frac{1}{y}=2 \\ & \frac{6}{\left| x-2 \right|}-\frac{2}{y}=1 \\ \end{align} \right. \)

Giải hệ phương trình: \( \left\{ \begin{align}  & \frac{2}{\left| x-2 \right|}+\frac{1}{y}=2 \\ & \frac{6}{\left| x-2 \right|}-\frac{2}{y}=1 \\ \end{align} \right. \).

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( x\ne 2;\text{ }y\ne 0 \).

 \( \left\{ \begin{align} & \frac{2}{\left| x-2 \right|}+\frac{1}{y}=2 \\  & \frac{6}{\left| x-2 \right|}-\frac{2}{y}=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{6}{\left| x-2 \right|}+\frac{3}{y}=6 \\ & \frac{6}{\left| x-2 \right|}-\frac{2}{y}=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \frac{5}{y}=5 \\  & \frac{2}{\left| x-2 \right|}+\frac{1}{y}=2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & y=1\text{ }(n) \\  & \frac{2}{\left| x-2 \right|}+\frac{1}{1}=2 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & y=1 \\  & \left| x-2 \right|=2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \begin{cases} y=1 \\ x-2=2 \end{cases} \\ \begin{cases} y=1 \\ x-2=-2 \end{cases} \\\end{array}\right. \) \( \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \begin{cases} y=1 \\ x=4 \end{cases} \\ \begin{cases} y=1 \\ x=0 \end{cases} \\\end{array}\right. \).

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm là  \( \left( x;y \right)=\left\{ (4;1),(0;1) \right\} \).

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: 6√(1−x^2)−4x=3(√(1+x)−1)

Giải phương trình: \( 6\sqrt{1-{{x}^{2}}}-4x=3\left( \sqrt{1+x}-1 \right) \)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( -1\le x\le 1 \).

Ta có:  \( 6\sqrt{1-{{x}^{2}}}-4x=3\left( \sqrt{1+x}-1 \right) \)

 \( \Leftrightarrow 6\sqrt{1-x}.\sqrt{1+x}-3\sqrt{1+x}+4{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{2}}-1=0 \)

 \( \Leftrightarrow 3\sqrt{1+x}\left( 2\sqrt{1-x}-1 \right)+\left( 2\sqrt{1-x}-1 \right)\left( 2\sqrt{1-x}+1 \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left( 2\sqrt{1-x}-1 \right)\left( 3\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x}+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2\sqrt{1-x}-1=0\text{                   }(1) \\  & 3\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x}+1=0\text{  }(2) \\ \end{align} \right. \).

Giải (1)  \( \Leftrightarrow 2\sqrt{1-x}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{1-x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4} \) (thỏa mãn)

Giải (2): với mọi  \( -1\le x\le 1\) thì  \( 3\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x}+1>0 \) , nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm  \( x=\frac{3}{4} \).

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: √(4x^2−2x+1/4)=4x^3−x^2+8x−2

Giải phương trình: \(\sqrt{4{{x}^{2}}-2x+\frac{1}{4}}=4{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+8x-2\).

Hướng dẫn giải:

\(\sqrt{4{{x}^{2}}-2x+\frac{1}{4}}=4{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+8x-2\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 2x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}=4{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+8x-2\)

 \( \Leftrightarrow \left| 2x-\frac{1}{2} \right|=4{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+8x-2\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x-\frac{1}{2}=4{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+8x-2 \\  & -2x+\frac{1}{2}=4{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+8x-2 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 4{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+6x-\frac{3}{2}=0 \\  & 4{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x-\frac{5}{2}=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & (4x-1)\left( {{x}^{2}}+\frac{3}{2} \right)=0 \\  & (4x-1)\left( {{x}^{2}}+\frac{5}{2} \right)=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\frac{1}{4} \).

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm  \( x=\frac{1}{4} \).

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho phương trình x^2−2(m+1)x+2m+10=0

Cho phương trình \( {{x}^{2}}-2(m+1)x+2m+10=0 \)  (1) với m là tham số.

a) Giải phương trình khi \( m=-4 \).

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

c) Giả sử phương trình có nghiệm \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+8{{x}_{1}}{{x}_{2}} \).

Hướng dẫn giải:

a) Khi \( m=-4 \), phương trình (1) trở thành: \( {{x}^{2}}+6x+2=0 \).

Ta có:  \( {\Delta }’={{3}^{2}}-2.1.2=5>0 \).

 \( \Rightarrow  \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt  \( {{x}_{1}}=-3+\sqrt{5};\text{ }{{x}_{2}}=-3-\sqrt{5} \).

Vậy với  \( m=-4 \) thì phương trình có tập nghiệm là  \( S=\left\{ -3+\sqrt{5};-3-\sqrt{5} \right\} \).

b) Xét phương trình (1) có:

 \({\Delta }’={{\left[ -(m+1) \right]}^{2}}-1.(2m+10)={{m}^{2}}+2m+1-2m-10={{m}^{2}}-9\).

Phương trình (1) có nghiệm  \( \Leftrightarrow {\Delta }’\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}\ge 9\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m\ge 3 \\  & m\le -3 \\ \end{align} \right. \).

Vậy (1) có nghiệm khi  \( \left[ \begin{align}  & m\ge 3 \\  & m\le -3 \\ \end{align} \right. \).

c) Với \( \left[ \begin{align} & m\ge 3 \\ & m\le -3 \\ \end{align} \right. \) thì phương trình (1) có nghiệm \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \).

Hệ thức Viet:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2(m+1) \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=2m+10 \\ \end{align} \right. \).

Ta có:  \( P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+8{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}+6{{x}_{1}}{{x}_{2}} \).

 \( \Rightarrow P={{\left[ 2(m+1) \right]}^{2}}+6(2m+10)=4{{m}^{2}}+20m+64={{(2m+5)}^{2}}+39 \).

Sai lầm mắc phải:

Vì  \( {{(2m+5)}^{2}}\ge 0\Rightarrow P\ge 39 \).

Do đó:  \( {{P}_{\min }}=39\Leftrightarrow {{(2m+5)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=-\frac{5}{2} \) (không thỏa mãn).

Vậy không có giá trị của m để P nhỏ nhất.

Lời giải đúng:

Khi  \( m\le -3\Rightarrow 2m+5\le -1\Rightarrow {{(2m+5)}^{2}}\ge 1\Rightarrow P={{(2m+5)}^{2}}+39\ge 40 \).

Khi  \( m\ge 3\Rightarrow 2m+5\ge 11\Rightarrow {{(2m+5)}^{2}}\ge 121\Rightarrow P={{(2m+5)}^{2}}+39\ge 160 \).

Như vậy với mọi m thỏa mãn điều kiện, ta có:  \( P\ge 40 \)

 \( \Rightarrow {{P}_{\min }}=40 \) khi  \( m=-3 \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho phương trình: x^2+2(m−1)x+2m−5=0

Cho phương trình: \( {{x}^{2}}+2(m-1)x+2m-5=0 \)  (1) (x là ẩn số).

a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) với mọi

b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho \( {{x}_{1}}\le 0<{{x}_{2}} \).

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình: \( {{x}^{2}}+2(m-1)x+2m-5=0 \) (1)

Ta có:  \( {\Delta }’={{m}^{2}}-4m+6={{(m-2)}^{2}}+2 \).

Vì  \( {{(m-2)}^{2}}\ge 0,\forall m\Rightarrow {\Delta }’>0,\forall m  \).

 \( \Rightarrow  \) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) với mọi m.

b) Xét phương trình (1) có: \( a=1;b=2(m-1);c=2m-5 \).

Ta có:  \( {{x}_{1}}\le 0<{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}_{1}}=0<{{x}_{2}} \\  & {{x}_{1}}<0<{{x}_{2}} \\ \end{align} \right. \).

Trường hợp 1:  \( {{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}\Leftrightarrow a.c<0\Leftrightarrow 2m-5<0\Leftrightarrow m<\frac{5}{2} \).

Trường hợp 2:  \( {{x}_{1}}=0<{{x}_{2}} \).

Ta có:  \( x=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{2} \).

Với  \( m=\frac{5}{2}, ta có: {{x}^{2}}+3x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=-3<0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow m=\frac{5}{2} \) không thỏa mãn đề bài.

Vậy  \( m<\frac{5}{2} \) thì  \( {{x}_{1}}\le 0<{{x}_{2}} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!