Hướng dẫn giải:

Phương trình đã cho tương đương với  \( 4{{x}^{2}}+({{m}^{2}}+2m-15)x+{{m}^{2}}+2m-19=0 \)

Vì  \( a-b+c=0 \) nên phương trình có hai nghiệm là:  \( x=-1;\,\,x=\frac{19-2m-{{m}^{2}}}{4} \).

+ Trường hợp 1:  \( {{x}_{1}}=-1;\,\,{{x}_{2}}=\frac{19-2m-{{m}^{2}}}{4} \).

Khi đó:  \( x_{1}^{2}+{{x}_{2}}+2019=0\Leftrightarrow 1+\frac{19-2m-{{m}^{2}}}{4}+2019=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-8099=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=89 \\  & m=-91 \\ \end{align} \right. \).

+ Trường hợp 2: \({{x}_{1}}=\frac{19-2m-{{m}^{2}}}{4};\,\,{{x}_{2}}=-1\).

Khi đó:  \( x_{1}^{2}+{{x}_{2}}+2019=0\Leftrightarrow {{\left( \frac{19-2m-{{m}^{2}}}{4} \right)}^{2}}-1+2019=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{19-2m-{{m}^{2}}}{4} \right)}^{2}}=-2018 \)  (Vô lý)

Vậy  \( m\in \{89;-91\} \) là các giá trị cần tìm.