Cho phương trình: x^2+2(m−1)x+2m−5=0

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình: \( {{x}^{2}}+2(m-1)x+2m-5=0 \) (1)

Ta có:  \( {\Delta }’={{m}^{2}}-4m+6={{(m-2)}^{2}}+2 \).

Vì  \( {{(m-2)}^{2}}\ge 0,\forall m\Rightarrow {\Delta }’>0,\forall m  \).

 \( \Rightarrow  \) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) với mọi m.

b) Xét phương trình (1) có: \( a=1;b=2(m-1);c=2m-5 \).

Ta có:  \( {{x}_{1}}\le 0<{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}_{1}}=0<{{x}_{2}} \\  & {{x}_{1}}<0<{{x}_{2}} \\ \end{align} \right. \).

Trường hợp 1:  \( {{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}\Leftrightarrow a.c<0\Leftrightarrow 2m-5<0\Leftrightarrow m<\frac{5}{2} \).

Trường hợp 2:  \( {{x}_{1}}=0<{{x}_{2}} \).

Ta có:  \( x=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{2} \).

Với  \( m=\frac{5}{2}, ta có: {{x}^{2}}+3x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=-3<0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow m=\frac{5}{2} \) không thỏa mãn đề bài.

Vậy  \( m<\frac{5}{2} \) thì  \( {{x}_{1}}\le 0<{{x}_{2}} \).