Cho phương trình \( {{x}^{2}}-2(m+1)x+2m+10=0 \) (1) với m là tham số.
a) Giải phương trình khi \( m=-4 \).
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
c) Giả sử phương trình có nghiệm \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+8{{x}_{1}}{{x}_{2}} \).
Hướng dẫn giải:
a) Khi \( m=-4 \), phương trình (1) trở thành: \( {{x}^{2}}+6x+2=0 \).
Ta có: \( {\Delta }’={{3}^{2}}-2.1.2=5>0 \).
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( {{x}_{1}}=-3+\sqrt{5};\text{ }{{x}_{2}}=-3-\sqrt{5} \).
Vậy với \( m=-4 \) thì phương trình có tập nghiệm là \( S=\left\{ -3+\sqrt{5};-3-\sqrt{5} \right\} \).
b) Xét phương trình (1) có:
\({\Delta }’={{\left[ -(m+1) \right]}^{2}}-1.(2m+10)={{m}^{2}}+2m+1-2m-10={{m}^{2}}-9\).
Phương trình (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow {\Delta }’\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}\ge 9\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m\ge 3 \\ & m\le -3 \\ \end{align} \right. \).
Vậy (1) có nghiệm khi \( \left[ \begin{align} & m\ge 3 \\ & m\le -3 \\ \end{align} \right. \).
c) Với \( \left[ \begin{align} & m\ge 3 \\ & m\le -3 \\ \end{align} \right. \) thì phương trình (1) có nghiệm \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \).
Hệ thức Viet: \( \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2(m+1) \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=2m+10 \\ \end{align} \right. \).
Ta có: \( P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+8{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}+6{{x}_{1}}{{x}_{2}} \).
\( \Rightarrow P={{\left[ 2(m+1) \right]}^{2}}+6(2m+10)=4{{m}^{2}}+20m+64={{(2m+5)}^{2}}+39 \).
Sai lầm mắc phải:
Vì \( {{(2m+5)}^{2}}\ge 0\Rightarrow P\ge 39 \).
Do đó: \( {{P}_{\min }}=39\Leftrightarrow {{(2m+5)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=-\frac{5}{2} \) (không thỏa mãn).
Vậy không có giá trị của m để P nhỏ nhất.
Lời giải đúng:
Khi \( m\le -3\Rightarrow 2m+5\le -1\Rightarrow {{(2m+5)}^{2}}\ge 1\Rightarrow P={{(2m+5)}^{2}}+39\ge 40 \).
Khi \( m\ge 3\Rightarrow 2m+5\ge 11\Rightarrow {{(2m+5)}^{2}}\ge 121\Rightarrow P={{(2m+5)}^{2}}+39\ge 160 \).
Như vậy với mọi m thỏa mãn điều kiện, ta có: \( P\ge 40 \)
\( \Rightarrow {{P}_{\min }}=40 \) khi \( m=-3 \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!