Xét tất cả các số phức z thỏa mãn |z−3i+4|=1. Giá trị nhỏ nhất của ∣z^2+7−24i∣ nằm trong khoảng nào

Xét tất cả các số phức z thỏa mãn \( \left| z-3i+4 \right|=1 \). Giá trị nhỏ nhất của  \( \left| {{z}^{2}}+7-24i \right| \) nằm trong khoảng nào?

A. (0;1009)

B. (1009;2018)

C. (2018;4036)               

D.  \( \left( 4036;+\infty  \right) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( 1=\left| z-3i+4 \right|\ge \left| \left| z \right|-\left| 3i-4 \right| \right|=\left| \left| z \right|-5 \right| \)

 \( \Rightarrow -1\le \left| z \right|-5\le 1\Leftrightarrow 4\le \left| z \right|\le 6 \)

Đặt \({{z}_{0}}=4-3i\Rightarrow \left| {{z}_{0}} \right|=5,\text{ }z_{0}^{2}=7-24i\).

Ta có: \(A={{\left| {{z}^{2}}+7-24i \right|}^{2}}={{\left| {{z}^{2}}+z_{0}^{2} \right|}^{2}}=\left( {{z}^{2}}+z_{0}^{2} \right).\left( {{{\bar{z}}}^{2}}+\bar{z}_{0}^{2} \right)\)

\(={{\left| z \right|}^{4}}+{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{4}}+{{\left( z.{{{\bar{z}}}_{0}}+\bar{z}.{{z}_{0}} \right)}^{2}}-2{{\left| z.{{z}_{0}} \right|}^{2}}\)

Mà  \( (z+{{z}_{0}})(\bar{z}+{{\bar{z}}_{0}})=1\Rightarrow z.{{\bar{z}}_{0}}+\bar{z}.{{z}_{0}}=1-{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}} \)

Suy ra: \(A={{\left| z \right|}^{4}}+{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{4}}+{{\left( 1-{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| {{{\bar{z}}}_{0}} \right|}^{2}} \right)}^{2}}-2{{\left| z.{{z}_{0}} \right|}^{2}}=2{{\left| z \right|}^{4}}-2{{\left| z \right|}^{2}}+1201\).

Hàm số  \( y=2{{t}^{4}}-2{{t}^{2}}+1201 \) đồng biến trên  \( \left[ 4;6 \right] \) nên  \( A\ge {{2.4}^{4}}-{{2.4}^{2}}+1201=1681 \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( \left\{ \begin{align}  & \left| z \right|=4 \\  & \left| z+4-3i \right|=1 \\ \end{align} \right. \)

Do đó,  \( \left| {{z}^{2}}+7-24i \right| \) nằm trong khoảng (1009; 2018).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *