Xét tất cả các số phức z thỏa mãn |z−3i+4|=1. Giá trị nhỏ nhất của ∣z^2+7−24i∣ nằm trong khoảng nào

Xét tất cả các số phức z thỏa mãn \( \left| z-3i+4 \right|=1 \). Giá trị nhỏ nhất của  \( \left| {{z}^{2}}+7-24i \right| \) nằm trong khoảng nào?

A. (0;1009)

B. (1009;2018)

C. (2018;4036)               

D.  \( \left( 4036;+\infty  \right) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( 1=\left| z-3i+4 \right|\ge \left| \left| z \right|-\left| 3i-4 \right| \right|=\left| \left| z \right|-5 \right| \)

 \( \Rightarrow -1\le \left| z \right|-5\le 1\Leftrightarrow 4\le \left| z \right|\le 6 \)

Đặt \({{z}_{0}}=4-3i\Rightarrow \left| {{z}_{0}} \right|=5,\text{ }z_{0}^{2}=7-24i\).

Ta có: \(A={{\left| {{z}^{2}}+7-24i \right|}^{2}}={{\left| {{z}^{2}}+z_{0}^{2} \right|}^{2}}=\left( {{z}^{2}}+z_{0}^{2} \right).\left( {{{\bar{z}}}^{2}}+\bar{z}_{0}^{2} \right)\)

\(={{\left| z \right|}^{4}}+{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{4}}+{{\left( z.{{{\bar{z}}}_{0}}+\bar{z}.{{z}_{0}} \right)}^{2}}-2{{\left| z.{{z}_{0}} \right|}^{2}}\)

Mà  \( (z+{{z}_{0}})(\bar{z}+{{\bar{z}}_{0}})=1\Rightarrow z.{{\bar{z}}_{0}}+\bar{z}.{{z}_{0}}=1-{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}} \)

Suy ra: \(A={{\left| z \right|}^{4}}+{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{4}}+{{\left( 1-{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| {{{\bar{z}}}_{0}} \right|}^{2}} \right)}^{2}}-2{{\left| z.{{z}_{0}} \right|}^{2}}=2{{\left| z \right|}^{4}}-2{{\left| z \right|}^{2}}+1201\).

Hàm số  \( y=2{{t}^{4}}-2{{t}^{2}}+1201 \) đồng biến trên  \( \left[ 4;6 \right] \) nên  \( A\ge {{2.4}^{4}}-{{2.4}^{2}}+1201=1681 \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( \left\{ \begin{align}  & \left| z \right|=4 \\  & \left| z+4-3i \right|=1 \\ \end{align} \right. \)

Do đó,  \( \left| {{z}^{2}}+7-24i \right| \) nằm trong khoảng (1009; 2018).

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *