Xét tất cả các số phức z thỏa mãn \( \left| z-3i+4 \right|=1 \). Giá trị nhỏ nhất của \( \left| {{z}^{2}}+7-24i \right| \) nằm trong khoảng nào?
A. (0;1009)
B. (1009;2018)
C. (2018;4036)
D. \( \left( 4036;+\infty \right) \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Ta có: \( 1=\left| z-3i+4 \right|\ge \left| \left| z \right|-\left| 3i-4 \right| \right|=\left| \left| z \right|-5 \right| \)
\( \Rightarrow -1\le \left| z \right|-5\le 1\Leftrightarrow 4\le \left| z \right|\le 6 \)
Đặt \({{z}_{0}}=4-3i\Rightarrow \left| {{z}_{0}} \right|=5,\text{ }z_{0}^{2}=7-24i\).
Ta có: \(A={{\left| {{z}^{2}}+7-24i \right|}^{2}}={{\left| {{z}^{2}}+z_{0}^{2} \right|}^{2}}=\left( {{z}^{2}}+z_{0}^{2} \right).\left( {{{\bar{z}}}^{2}}+\bar{z}_{0}^{2} \right)\)
\(={{\left| z \right|}^{4}}+{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{4}}+{{\left( z.{{{\bar{z}}}_{0}}+\bar{z}.{{z}_{0}} \right)}^{2}}-2{{\left| z.{{z}_{0}} \right|}^{2}}\)
Mà \( (z+{{z}_{0}})(\bar{z}+{{\bar{z}}_{0}})=1\Rightarrow z.{{\bar{z}}_{0}}+\bar{z}.{{z}_{0}}=1-{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}} \)
Suy ra: \(A={{\left| z \right|}^{4}}+{{\left| {{z}_{0}} \right|}^{4}}+{{\left( 1-{{\left| z \right|}^{2}}-{{\left| {{{\bar{z}}}_{0}} \right|}^{2}} \right)}^{2}}-2{{\left| z.{{z}_{0}} \right|}^{2}}=2{{\left| z \right|}^{4}}-2{{\left| z \right|}^{2}}+1201\).
Hàm số \( y=2{{t}^{4}}-2{{t}^{2}}+1201 \) đồng biến trên \( \left[ 4;6 \right] \) nên \( A\ge {{2.4}^{4}}-{{2.4}^{2}}+1201=1681 \).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( \left\{ \begin{align} & \left| z \right|=4 \\ & \left| z+4-3i \right|=1 \\ \end{align} \right. \)
Do đó, \( \left| {{z}^{2}}+7-24i \right| \) nằm trong khoảng (1009; 2018).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!