Xét số phức z thỏa mãn |z−2−2i|=2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=|z−1−i|+|z−5−2i| bằng

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z. Do  \( \left| z-2-2i \right|=2 \) nên tập hợp điểm M là đường tròn  \( (C):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4 \).

Các điểm A(1;1), B(5;2) là điểm biểu diễn các số phức  \( 1+I \) và  \( 5+2i \). Khi đó,  \( P=MA+MB \).

Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn (C) còn điểm B nằm ngoài đường tròn (C), mà  \( MA+MB\ge AB=\sqrt{17} \).

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB với (C).

Ta có, phương trình đường thẳng  \( AB:x-4y+3=0 \).

Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn (C) là nghiệm của hệ với  \( 1<y<5 \).

\( \left\{ \begin{align}  & {{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4 \\  & x-4y+3=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{(4y-5)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4 \\  & x=4y-3 \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( {{(4y-5)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4\Leftrightarrow 17{{y}^{2}}-44y+25=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & y=\frac{22+\sqrt{59}}{17}\text{ }(n) \\  & y=\frac{22-\sqrt{59}}{17}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Vậy  \( {{P}_{\min }}=\sqrt{17} \) khi  \( z=\frac{37+4\sqrt{59}}{17}+\frac{22+\sqrt{59}}{17}I \).