Xét số phức z thỏa mãn \( \left| z-2-2i \right|=2 \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P=\left| z-1-i \right|+\left| z-5-2i \right| \) bằng
A. \( 1+\sqrt{10} \)
B. 4
C. \( \sqrt{17} \)
D. 5
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z. Do \( \left| z-2-2i \right|=2 \) nên tập hợp điểm M là đường tròn \( (C):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4 \).
Các điểm A(1;1), B(5;2) là điểm biểu diễn các số phức \( 1+I \) và \( 5+2i \). Khi đó, \( P=MA+MB \).
Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn (C) còn điểm B nằm ngoài đường tròn (C), mà \( MA+MB\ge AB=\sqrt{17} \).
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB với (C).
Ta có, phương trình đường thẳng \( AB:x-4y+3=0 \).
Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn (C) là nghiệm của hệ với \( 1<y<5 \).
\( \left\{ \begin{align} & {{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4 \\ & x-4y+3=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{(4y-5)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4 \\ & x=4y-3 \\ \end{align} \right. \)
Ta có: \( {{(4y-5)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4\Leftrightarrow 17{{y}^{2}}-44y+25=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & y=\frac{22+\sqrt{59}}{17}\text{ }(n) \\ & y=\frac{22-\sqrt{59}}{17}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).
Vậy \( {{P}_{\min }}=\sqrt{17} \) khi \( z=\frac{37+4\sqrt{59}}{17}+\frac{22+\sqrt{59}}{17}I \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!