Xét số phức z thỏa mãn |z−2−2i|=2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=|z−1−i|+|z−5−2i| bằng

Xét số phức z thỏa mãn \( \left| z-2-2i \right|=2 \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \( P=\left| z-1-i \right|+\left| z-5-2i \right| \) bằng

A. \( 1+\sqrt{10} \)

B. 4                                   

C.  \( \sqrt{17} \)              

D. 5

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z. Do  \( \left| z-2-2i \right|=2 \) nên tập hợp điểm M là đường tròn  \( (C):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4 \).

Các điểm A(1;1), B(5;2) là điểm biểu diễn các số phức  \( 1+I \) và  \( 5+2i \). Khi đó,  \( P=MA+MB \).

Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn (C) còn điểm B nằm ngoài đường tròn (C), mà  \( MA+MB\ge AB=\sqrt{17} \).

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB với (C).

Ta có, phương trình đường thẳng  \( AB:x-4y+3=0 \).

Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn (C) là nghiệm của hệ với  \( 1<y<5 \).

\( \left\{ \begin{align}  & {{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4 \\  & x-4y+3=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{(4y-5)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4 \\  & x=4y-3 \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( {{(4y-5)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=4\Leftrightarrow 17{{y}^{2}}-44y+25=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & y=\frac{22+\sqrt{59}}{17}\text{ }(n) \\  & y=\frac{22-\sqrt{59}}{17}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Vậy  \( {{P}_{\min }}=\sqrt{17} \) khi  \( z=\frac{37+4\sqrt{59}}{17}+\frac{22+\sqrt{59}}{17}I \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *