Giải phương trình: 6√(1−x^2)−4x=3(√(1+x)−1)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( -1\le x\le 1 \).

Ta có:  \( 6\sqrt{1-{{x}^{2}}}-4x=3\left( \sqrt{1+x}-1 \right) \)

 \( \Leftrightarrow 6\sqrt{1-x}.\sqrt{1+x}-3\sqrt{1+x}+4{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{2}}-1=0 \)

 \( \Leftrightarrow 3\sqrt{1+x}\left( 2\sqrt{1-x}-1 \right)+\left( 2\sqrt{1-x}-1 \right)\left( 2\sqrt{1-x}+1 \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left( 2\sqrt{1-x}-1 \right)\left( 3\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x}+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2\sqrt{1-x}-1=0\text{                   }(1) \\  & 3\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x}+1=0\text{  }(2) \\ \end{align} \right. \).

Giải (1)  \( \Leftrightarrow 2\sqrt{1-x}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{1-x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{4} \) (thỏa mãn)

Giải (2): với mọi  \( -1\le x\le 1\) thì  \( 3\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x}+1>0 \) , nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm  \( x=\frac{3}{4} \).