Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình f(∣x^2−4x∣−3)=a có không ít hơn 10 nghiệm thực phân biệt

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( t=\left| {{x}^{2}}-4x \right|-3 \).

Ta có:  \( {t}'(x)=\frac{{{x}^{2}}-4x}{\left| {{x}^{2}}-4x \right|}.(2x-4); \) \( {t}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}-4x=0 \\  & 2x-4=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=4 \\  & x=2 \\ \end{align} \right. \).

Bảng biến thiên:

Nhận thấy:

+ Với  \( t<-3 \) thì vô nghiệm x.

+ Với  \( t=-3 \) thì có 2 nghiệm x.

+ Với  \( t\in (-3;1) \) thì có 4 nghiệm x.

+ Với  \( t=1 \) thì có 3 nghiệm x.

+ Với  \( t>1 \) có 2 nghiệm x.

Khi đó ta có phương trình  \( f(t)=a \)  (1). Từ đồ thị hàm số f(x) ta có:

+ Nếu  \( a<-2 \) thì (1) có 2 nghiệm phân biệt  \( t>1 \) hoặc vô nghiệm  \( \Rightarrow \)  Phương trình đã cho có số nghiệm không lớn hơn 4.

+ Nếu  \( a=-2 \) thì (1) có 3 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm  \( t\in (-3;0) \) và 2 nghiệm  \( t>1\Rightarrow \) Phương trình đã cho có 8 nghiệm.

+ Nếu  \( a\in (-2;0) \) thì (1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm  \( t\in (-3;1) \) và 1 nghiệm  \( t>1 \) và nghiệm  \( t=1;t=-3\Rightarrow  \)Phương trình đã cho có 11 nghiệm phân biệt.

+ Nếu  \( a\in (0;2] \) thì (1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó 2 nghiệm  \( t\in (-3;1) \) và 1 nghiệm  \( t<-3 \) và 1 nghiệm  \( t>1\Rightarrow  \) Phương trình đã cho có 10 nghiệm phân biệt.

+ Nếu  \( \left\{ \begin{align}  & a>2 \\  & a\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \) thì (1) có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm  \( t<-3 \) và 1 nghiệm  \( t>1\Rightarrow \)  Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy với  \( -2<a\le 2 \) thì phương trình đã cho có không ít hơn 10 nghiệm phân biệt, do đó có 4 số nguyên a cần tìm.