Cho số phức z, w thỏa mãn ∣z−3√2∣=√2, ∣w−4√2i∣=2√2. Biết rằng |z−w| đạt giá trị nhỏ nhất khi z=z0,w=w0. Tính |3z0−w0|

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:

+  \( \left| z-3\sqrt{2} \right|=\sqrt{2} \), suy ra tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm  \( I\left( 3\sqrt{2};0 \right) \), bán kính  \( r=\sqrt{2} \).

+  \( \left| w-4\sqrt{2}i \right|=2\sqrt{2} \), suy ra tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm  \( J\left( 0;4\sqrt{2} \right) \), bán kính  \( R=2\sqrt{2} \).

Ta có:  \( \min \left| z-w \right|=M{{N}_{\min }} \).

+  \( IJ=5\sqrt{2};\text{ }IM=r=\sqrt{2};\text{ }NJ=R=2\sqrt{2} \).

Mặt khác,  \( IM+MN+NJ\ge IJ\Rightarrow MN\ge IJ-IM-NJ  \) hay  \( MN\ge 5\sqrt{2}-\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2} \).

Suy ra  \( M{{N}_{\min }}=2\sqrt{2} \) khi I, M, N, J thẳng hàng và M, N nằm giữa I, J (hình vẽ).

Cách 1:

Khi đó, ta có:  \( \left| 3{{z}_{0}}-{{w}_{0}} \right|=\left| 3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} \right| \) và  \( IN=3\sqrt{2}\Rightarrow \overrightarrow{IM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{IJ};\text{ }\overrightarrow{IN}=\frac{3}{5}\overrightarrow{IJ} \).

Mặt khác,  \( \overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{OI}+\frac{3}{5}\overrightarrow{IJ} \);  \( 3\overrightarrow{OM}=3\left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IM} \right)=3\left( \overrightarrow{OI}+\frac{1}{5}\overrightarrow{IJ} \right)=3\overrightarrow{OI}+\frac{3}{5}\overrightarrow{IJ} \).

Suy ra:  \( \left| 3{{z}_{0}}-{{w}_{0}} \right|=\left| 3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} \right|=\left| 3\overrightarrow{OI}+\frac{3}{5}\overrightarrow{IJ}-\left( \overrightarrow{OI}+\frac{3}{5}\overrightarrow{IJ} \right) \right|=\left| 2\overrightarrow{OI} \right|=6\sqrt{2} \).

Cách 2:

Ta có:  \( \overrightarrow{IN}=3\overrightarrow{IM}\Rightarrow 3\overrightarrow{IM}-\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0} \)

Do đó:  \( \left| 3{{z}_{0}}-{{w}_{0}} \right|=\left| 3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} \right|=\left| 3\left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IM} \right)-\left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IN} \right) \right| \)

 \( =\left| 2\overrightarrow{OI} \right|=2.OI=2.3\sqrt{2}=6\sqrt{2} \).

Cách 3:

+  \( \overrightarrow{IM}=\frac{IM}{IJ}\overrightarrow{IJ}\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{IJ} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{M}}=\frac{12\sqrt{2}}{5} \\  & {{y}_{M}}=\frac{4\sqrt{2}}{5} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{z}_{0}}=\frac{12\sqrt{2}}{5}+\frac{4\sqrt{2}}{5}I \)

+  \( \overrightarrow{IN}=\frac{IN}{IJ}\overrightarrow{IJ}\Leftrightarrow \overrightarrow{IN}=\frac{3}{5}\overrightarrow{IJ}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{N}}=\frac{6\sqrt{2}}{5} \\  & {{y}_{N}}=\frac{12\sqrt{2}}{5} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{w}_{0}}=\frac{6\sqrt{2}}{5}+\frac{12\sqrt{2}}{5}I \)

Suy ra  \( \left| 3{{z}_{0}}-{{w}_{0}} \right|=\left| 6\sqrt{2} \right|=6\sqrt{2} \).