Cho số phức z, w thỏa mãn ∣z−3√2∣=√2, ∣w−4√2i∣=2√2. Biết rằng |z−w| đạt giá trị nhỏ nhất khi z=z0,w=w0. Tính |3z0−w0|

Cho số phức z, w thỏa mãn \( \left| z-3\sqrt{2} \right|=\sqrt{2},\text{ }\left| w-4\sqrt{2}i \right|=2\sqrt{2} \). Biết rằng  \( \left| z-w \right| \) đạt giá trị nhỏ nhất khi  \( z={{z}_{0}},w={{w}_{0}} \). Tính  \( \left| 3{{z}_{0}}-{{w}_{0}} \right| \).

A. \( 2\sqrt{2} \)

B.  \( 4\sqrt{2} \)                       

C. 1                                  

D.  \( 6\sqrt{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:

+  \( \left| z-3\sqrt{2} \right|=\sqrt{2} \), suy ra tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z là đường tròn có tâm  \( I\left( 3\sqrt{2};0 \right) \), bán kính  \( r=\sqrt{2} \).

+  \( \left| w-4\sqrt{2}i \right|=2\sqrt{2} \), suy ra tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm  \( J\left( 0;4\sqrt{2} \right) \), bán kính  \( R=2\sqrt{2} \).

Ta có:  \( \min \left| z-w \right|=M{{N}_{\min }} \).

+  \( IJ=5\sqrt{2};\text{ }IM=r=\sqrt{2};\text{ }NJ=R=2\sqrt{2} \).

Mặt khác,  \( IM+MN+NJ\ge IJ\Rightarrow MN\ge IJ-IM-NJ  \) hay  \( MN\ge 5\sqrt{2}-\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2} \).

Suy ra  \( M{{N}_{\min }}=2\sqrt{2} \) khi I, M, N, J thẳng hàng và M, N nằm giữa I, J (hình vẽ).

Cách 1:

Khi đó, ta có:  \( \left| 3{{z}_{0}}-{{w}_{0}} \right|=\left| 3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} \right| \) và  \( IN=3\sqrt{2}\Rightarrow \overrightarrow{IM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{IJ};\text{ }\overrightarrow{IN}=\frac{3}{5}\overrightarrow{IJ} \).

Mặt khác,  \( \overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{OI}+\frac{3}{5}\overrightarrow{IJ} \);  \( 3\overrightarrow{OM}=3\left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IM} \right)=3\left( \overrightarrow{OI}+\frac{1}{5}\overrightarrow{IJ} \right)=3\overrightarrow{OI}+\frac{3}{5}\overrightarrow{IJ} \).

Suy ra:  \( \left| 3{{z}_{0}}-{{w}_{0}} \right|=\left| 3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} \right|=\left| 3\overrightarrow{OI}+\frac{3}{5}\overrightarrow{IJ}-\left( \overrightarrow{OI}+\frac{3}{5}\overrightarrow{IJ} \right) \right|=\left| 2\overrightarrow{OI} \right|=6\sqrt{2} \).

Cách 2:

Ta có:  \( \overrightarrow{IN}=3\overrightarrow{IM}\Rightarrow 3\overrightarrow{IM}-\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0} \)

Do đó:  \( \left| 3{{z}_{0}}-{{w}_{0}} \right|=\left| 3\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON} \right|=\left| 3\left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IM} \right)-\left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IN} \right) \right| \)

 \( =\left| 2\overrightarrow{OI} \right|=2.OI=2.3\sqrt{2}=6\sqrt{2} \).

Cách 3:

+  \( \overrightarrow{IM}=\frac{IM}{IJ}\overrightarrow{IJ}\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{IJ} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{M}}=\frac{12\sqrt{2}}{5} \\  & {{y}_{M}}=\frac{4\sqrt{2}}{5} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{z}_{0}}=\frac{12\sqrt{2}}{5}+\frac{4\sqrt{2}}{5}I \)

+  \( \overrightarrow{IN}=\frac{IN}{IJ}\overrightarrow{IJ}\Leftrightarrow \overrightarrow{IN}=\frac{3}{5}\overrightarrow{IJ}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{N}}=\frac{6\sqrt{2}}{5} \\  & {{y}_{N}}=\frac{12\sqrt{2}}{5} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{w}_{0}}=\frac{6\sqrt{2}}{5}+\frac{12\sqrt{2}}{5}I \)

Suy ra  \( \left| 3{{z}_{0}}-{{w}_{0}} \right|=\left| 6\sqrt{2} \right|=6\sqrt{2} \).

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *