Cho số phức z thỏa |z|=1. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P=∣z^5+z¯^3+6z∣−2∣z^4+1∣. Tính M−m

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Vì  \( \left| z \right|=1 \) và  \( z.\bar{z}={{\left| z \right|}^{2}} \) nên ta có:  \( \bar{z}=\frac{1}{z} \).

Cách 1:

Từ đó:  \( P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| z \right|\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right| \).

Đặt  \( {{z}^{4}}=x+iy\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \). Do  \( \left| z \right|=1 \) nên  \( \left| {{z}^{4}} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1 \) và  \( -1\le x,y\le 1 \).

Khi đó:  \( P=\left| x+iy+x-iy+6 \right|-2\left| x+iy+1 \right|=\left| 2x+6 \right|-2\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}} \)

\( =2x+6-2\sqrt{2x+2}={{\left( \sqrt{2x+2}-1 \right)}^{2}}+3 \).

Do đó:  \( P\ge 3 \). Lại có  \( -1\le x\le 1\Rightarrow 0\le \sqrt{2x+2}\le 2\Rightarrow -1\le \sqrt{2x+2}-1\le 1\Rightarrow P\le 4 \).

Vậy  \( M=4 \) khi  \( {{z}^{4}}=\pm 1 \) và  \( m=3 \) khi  \( {{z}^{4}}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}I \).

Suy ra  \( M-m=1 \).

Cách 2:

Suy ra:  \( P=\left| {{z}^{5}}+\frac{1}{{{z}^{3}}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{3}}}\left| {{z}^{8}}+1+6{{z}^{4}} \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| {{z}^{8}}+6{{z}^{4}}+1 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right| \).

Đặt  \( w={{z}^{4}}\Rightarrow \left| w \right|=1 \), ta được  \( P=\left| {{w}^{2}}+6w+1 \right|-\left| 2w+2 \right| \).

Gọi  \( w=x+yi \), vì  \( \left| w \right|=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & \left| x \right|\le 1 \\  & \left| y \right|\le 1 \\ \end{align} \right. \).

\( P=\left| {{x}^{2}}+6x+1-{{y}^{2}}+2y(x+3)i \right|-2\left| x+1+yi \right|=\left| 2{{x}^{2}}+6x+2y(x+3)i \right|-2\left| x+1+yi \right| \)

\( =2\left| (x+3)(x+yi) \right|-2\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}}=2\left| (x+3) \right|\left| x+yi \right|-2\sqrt{2x+2}=2(x+3)-2\sqrt{2x+2} \).

Xét hàm số  \( f(x)=2(x+3)-2\sqrt{2x+2} \) trên đoạn  \( \left[ -1;1 \right] \).

\( {f}'(x)=2-2.\frac{1}{\sqrt{2x+2}};{f}'(x)=0\Leftrightarrow 2-2.\frac{1}{\sqrt{2x+2}}=0\Leftrightarrow \sqrt{2x+2}=1\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2} \).

Ta có: \(f(-1)=4;\text{ }f\left( -\frac{1}{2} \right)=3;\text{ }f(1)=4\).

Vậy  \( M=4,\text{ }m=3\Rightarrow M-m=1 \).