Cho số phức z thỏa |z|=1. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P=∣z^5+z¯^3+6z∣−2∣z^4+1∣. Tính M−m

Cho số phức z thỏa \( \left| z \right|=1 \). Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức  \( P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right| \). Tính  \( M-m \).

A. \( M-m=1 \)

B.  \( M-m=2 \)                

C.  \( M-m=3 \)                

D.  \( M-m=4 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Vì  \( \left| z \right|=1 \) và  \( z.\bar{z}={{\left| z \right|}^{2}} \) nên ta có:  \( \bar{z}=\frac{1}{z} \).

Cách 1:

Từ đó:  \( P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| z \right|\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right| \).

Đặt  \( {{z}^{4}}=x+iy\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \). Do  \( \left| z \right|=1 \) nên  \( \left| {{z}^{4}} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1 \) và  \( -1\le x,y\le 1 \).

Khi đó:  \( P=\left| x+iy+x-iy+6 \right|-2\left| x+iy+1 \right|=\left| 2x+6 \right|-2\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}} \)

\( =2x+6-2\sqrt{2x+2}={{\left( \sqrt{2x+2}-1 \right)}^{2}}+3 \).

Do đó:  \( P\ge 3 \). Lại có  \( -1\le x\le 1\Rightarrow 0\le \sqrt{2x+2}\le 2\Rightarrow -1\le \sqrt{2x+2}-1\le 1\Rightarrow P\le 4 \).

Vậy  \( M=4 \) khi  \( {{z}^{4}}=\pm 1 \) và  \( m=3 \) khi  \( {{z}^{4}}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}I \).

Suy ra  \( M-m=1 \).

Cách 2:

Suy ra:  \( P=\left| {{z}^{5}}+\frac{1}{{{z}^{3}}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{3}}}\left| {{z}^{8}}+1+6{{z}^{4}} \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| {{z}^{8}}+6{{z}^{4}}+1 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right| \).

Đặt  \( w={{z}^{4}}\Rightarrow \left| w \right|=1 \), ta được  \( P=\left| {{w}^{2}}+6w+1 \right|-\left| 2w+2 \right| \).

Gọi  \( w=x+yi \), vì  \( \left| w \right|=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & \left| x \right|\le 1 \\  & \left| y \right|\le 1 \\ \end{align} \right. \).

\( P=\left| {{x}^{2}}+6x+1-{{y}^{2}}+2y(x+3)i \right|-2\left| x+1+yi \right|=\left| 2{{x}^{2}}+6x+2y(x+3)i \right|-2\left| x+1+yi \right| \)

\( =2\left| (x+3)(x+yi) \right|-2\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}}=2\left| (x+3) \right|\left| x+yi \right|-2\sqrt{2x+2}=2(x+3)-2\sqrt{2x+2} \).

Xét hàm số  \( f(x)=2(x+3)-2\sqrt{2x+2} \) trên đoạn  \( \left[ -1;1 \right] \).

\( {f}'(x)=2-2.\frac{1}{\sqrt{2x+2}};{f}'(x)=0\Leftrightarrow 2-2.\frac{1}{\sqrt{2x+2}}=0\Leftrightarrow \sqrt{2x+2}=1\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2} \).

Ta có: \(f(-1)=4;\text{ }f\left( -\frac{1}{2} \right)=3;\text{ }f(1)=4\).

Vậy  \( M=4,\text{ }m=3\Rightarrow M-m=1 \).

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *