Cho số phức z thỏa \( \left| z \right|=1 \). Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức \( P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right| \). Tính \( M-m \).
A. \( M-m=1 \)
B. \( M-m=2 \)
C. \( M-m=3 \)
D. \( M-m=4 \)
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Vì \( \left| z \right|=1 \) và \( z.\bar{z}={{\left| z \right|}^{2}} \) nên ta có: \( \bar{z}=\frac{1}{z} \).
Cách 1:
Từ đó: \( P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| z \right|\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right| \).
Đặt \( {{z}^{4}}=x+iy\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \). Do \( \left| z \right|=1 \) nên \( \left| {{z}^{4}} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1 \) và \( -1\le x,y\le 1 \).
Khi đó: \( P=\left| x+iy+x-iy+6 \right|-2\left| x+iy+1 \right|=\left| 2x+6 \right|-2\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}} \)
\( =2x+6-2\sqrt{2x+2}={{\left( \sqrt{2x+2}-1 \right)}^{2}}+3 \).
Do đó: \( P\ge 3 \). Lại có \( -1\le x\le 1\Rightarrow 0\le \sqrt{2x+2}\le 2\Rightarrow -1\le \sqrt{2x+2}-1\le 1\Rightarrow P\le 4 \).
Vậy \( M=4 \) khi \( {{z}^{4}}=\pm 1 \) và \( m=3 \) khi \( {{z}^{4}}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}I \).
Suy ra \( M-m=1 \).
Cách 2:
Suy ra: \( P=\left| {{z}^{5}}+\frac{1}{{{z}^{3}}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\frac{1}{{{\left| z \right|}^{3}}}\left| {{z}^{8}}+1+6{{z}^{4}} \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| {{z}^{8}}+6{{z}^{4}}+1 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right| \).
Đặt \( w={{z}^{4}}\Rightarrow \left| w \right|=1 \), ta được \( P=\left| {{w}^{2}}+6w+1 \right|-\left| 2w+2 \right| \).
Gọi \( w=x+yi \), vì \( \left| w \right|=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \left| x \right|\le 1 \\ & \left| y \right|\le 1 \\ \end{align} \right. \).
\( P=\left| {{x}^{2}}+6x+1-{{y}^{2}}+2y(x+3)i \right|-2\left| x+1+yi \right|=\left| 2{{x}^{2}}+6x+2y(x+3)i \right|-2\left| x+1+yi \right| \)
\( =2\left| (x+3)(x+yi) \right|-2\sqrt{{{(x+1)}^{2}}+{{y}^{2}}}=2\left| (x+3) \right|\left| x+yi \right|-2\sqrt{2x+2}=2(x+3)-2\sqrt{2x+2} \).
Xét hàm số \( f(x)=2(x+3)-2\sqrt{2x+2} \) trên đoạn \( \left[ -1;1 \right] \).
\( {f}'(x)=2-2.\frac{1}{\sqrt{2x+2}};{f}'(x)=0\Leftrightarrow 2-2.\frac{1}{\sqrt{2x+2}}=0\Leftrightarrow \sqrt{2x+2}=1\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2} \).
Ta có: \(f(-1)=4;\text{ }f\left( -\frac{1}{2} \right)=3;\text{ }f(1)=4\).
Vậy \( M=4,\text{ }m=3\Rightarrow M-m=1 \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!