Cho hai số phức z và w thỏa mãn z+2w=8−6i và |z−w|=4. Giá trị lớn nhất của biểu thức |z|+|w| bằng

Cho hai số phức z và w thỏa mãn \( z+2w=8-6i  \) và  \( \left| z-w \right|=4 \). Giá trị lớn nhất của biểu thức  \( \left| z \right|+\left| w \right| \) bằng

A. \( 4\sqrt{6} \)

B.  \( 2\sqrt{26} \)                     

C.  \( \sqrt{66} \)              

D.  \( 3\sqrt{6} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Giả sử M, N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z và w. Suy ra:  \( \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{OI} \),  \( \left| z-w \right|=MN=4 \) và  \( OF=2OI=10 \).

Đặt  \( \left| z \right|=ON=\frac{a}{2};\text{ }\left| w \right|=OM=b  \). Dựng hình bình hành OMFE.

Ta có:  \( \left\{ \begin{align} & \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\frac{M{{E}^{2}}}{4}=25 \\  & \frac{{{b}^{2}}+M{{E}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}=16 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}=\frac{264}{3} \)

 \( {{\left( \left| z \right|+\left| w \right| \right)}^{2}}={{\left( \frac{a}{2}+b \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+2{{b}^{2}} \right)\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{2} \right)=66 \).

Suy ra:  \( a+b\le \sqrt{66} \), dấu “=” xảy ra khi  \( a=b=\frac{2\sqrt{66}}{3} \).

Vậy  \( {{(a+b)}_{\max }}=\sqrt{66} \).

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *