Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, B(3;0;8), D(-5;-4;0). Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó ∣CA+CB∣ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, B(3;0;8), D(-5;-4;0). Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó \( \left| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} \right| \) bằng:

A. \( 10\sqrt{5} \)

B.  \( 6\sqrt{10} \)            

C.  \( 10\sqrt{6} \)                     

D.  \( 5\sqrt{10} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( \overrightarrow{BD}=(-8;-4;-8)\Rightarrow BD=12 \) \( \Rightarrow AB=\frac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2} \)

Gọi M là trung điểm AB  \( \Rightarrow MC=3\sqrt{10} \)

 \( \left| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB} \right|=\left| 2\overrightarrow{CM} \right|=2CM=6\sqrt{10} \)

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian vế hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với AB=(1;−2;2), AC=(3;−4;6). Độ dài đường trung trực AM của tam giác ABC là

Trong không gian vế hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với \( \overrightarrow{AB}=(1;-2;2) \),  \( \overrightarrow{AC}=\left( 3;-4;6 \right) \). Độ dài đường trung trực AM của tam giác ABC là:

A. 29

B. \( \sqrt{29} \)              

C.  \( \frac{\sqrt{29}}{2} \)  

D.  \( 2\sqrt{29} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: \(A{{B}^{2}}={{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{2}^{2}}=9\), \(A{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{(-4)}^{2}}+{{6}^{2}}\), \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=1.3+(-2).(-4)+2.6=23\).

 \( {{\overrightarrow{BC}}^{2}}={{\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{AC}}^{2}}+{{\overrightarrow{AB}}^{2}}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=61+9-2.23=24 \)

Áp dụng công thức đường trung trực, ta có:

 \( A{{M}^{2}}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}=\frac{9+61}{2}-\frac{24}{4}=29 \)

Vậy  \( AM=\sqrt{29} \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a =(2;3;1), b =(−1;5;2), c =(4;−1;3) và x =(−3;22;5). Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \( \vec{a}=(2;3;1) \),  \( \vec{b}=(-1;5;2) \),  \( \vec{c}=(4;-1;3) \) và  \( \vec{x}=(-3;22;5) \). Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau?

A. \( \vec{x}=2\vec{a}-3\vec{b}-\vec{c} \)

B.  \( \vec{x}=-2\vec{a}+3\vec{b}+\vec{c} \)                                   

C.  \( \vec{x}=2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c} \) 

D.  \( \vec{x}=2\vec{a}-3\vec{b}+\vec{c} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Đặt  \( \vec{x}=m.\vec{a}+n.\vec{b}+p.\vec{c};\text{ }m,n,p\in \mathbb{R} \)

 \( \Rightarrow (-3;22;5)=m.(2;3;1)+n(-1;5;2)+p.(4;-1;3) \)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & 2m-n+4p=-3 \\  & 3m+5n-p=22 \\ & m+2n+3p=5 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m=2 \\  & n=3 \\  & p=-1 \\ \end{align} \right. \)

Vậy  \( \vec{x}=2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c} \)

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), A’(0;0;2a) với a≠0. Độ dài đoạn thẳng AC’ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), A’(0;0;2a) với \( a\ne 0 \). Độ dài đoạn thẳng AC’ là:

A. \( \left| a \right| \)

B.  \( 2\left| a \right| \)             

C.  \( 3\left| a \right| \)    

D.  \( \frac{3}{2}\left| a \right| \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(a;0;0) \);  \( \overrightarrow{AD}=(0;2a;0) \);  \( \overrightarrow{A{A}’}=(0;0;2a) \)

Theo quy tắc hình hộp, ta có:  \( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}’}=\overrightarrow{A{C}’}\Leftrightarrow \overrightarrow{A{C}’}=(a;2a;2a) \)

Suy ra:  \( AC=\left| \overrightarrow{AC} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(2a)}^{2}}+{{(2a)}^{2}}}=3\left| a \right| \).

Vậy độ dài đoạn thẳng  \( A{C}’=3\left| a \right| \)

Các bài toán mới!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các vectơ u =2i−2j+k, v =(m;2;m+1) với m là tham số thực. có bao nhiêu giá trị của m để |u|=|v|

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các vectơ \( \vec{u}=2\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k} \),  \( \vec{v}=(m;2;m+1) \) với m là tham số thực. có bao nhiêu giá trị của m để  \( \left| {\vec{u}} \right|=\left| {\vec{v}} \right| \).

A. 0

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \vec{u}=(2;-2;1) \)

Khi đó  \( \left| {\vec{u}} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{1}^{2}}}=3 \) và  \( \left| {\vec{v}} \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(m+1)}^{2}}}=\sqrt{2{{m}^{2}}+2m+5} \)

Do đó:  \( \left| {\vec{u}} \right|=\left| {\vec{v}} \right|\Leftrightarrow 9=2{{m}^{2}}+2m+5 \) \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-2=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\ & m=-2 \\ \end{align} \right. \)

Vậy có 2 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;-2;1), B(0;1;2). Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng là

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;-2;1), B(0;1;2). Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng là:

A. M(4;-5;0)

B. M(2;-3;0)

C. M(0;0;1)                      

D. M(4;5;0)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( M\in (Oxy)\Rightarrow M(x;y;0) \)

 \( \overrightarrow{AB}=(-2;3;1);\overrightarrow{AM}=(x-2;y+2;-1) \)

Để A, B, M thẳng hàng thì  \( \overrightarrow{AB} \) và  \( \overrightarrow{AM} \) cùng phương, khi đó:  \( \frac{x-2}{-2}=\frac{y+2}{3}=\frac{-1}{1} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=4 \\  & y=-5 \\ \end{align} \right. \)

Vậy M(4;-5;0)

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;-1;5), B(5;-5;7), M(x;y;1). Với giá trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;-1;5), B(5;-5;7), M(x;y;1). Với giá trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng.

A. x = 4; y = 7

B. \( x=-4;y=-7 \)            

C.  \( x=4;y=-7 \)             

D.  \( x=-4;y=7 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(3;-4;2) \),  \( \overrightarrow{AM}=(x-2;y+1;-4) \)

A, B, M thẳng hàng  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \) cùng phương  \( \Leftrightarrow \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-4}=\frac{-4}{2} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=-4 \\  & y=7 \\ \end{align} \right. \)

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ a =(2;m−1;3), b =(1;3;−2n). Tìm m, n để các vectơ a ,b cùng hướng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ \( \vec{a}=(2;m-1;3) \),  \( \vec{b}=(1;3;-2n) \). Tìm m, n để các vectơ  \( \vec{a},\vec{b} \) cùng hướng.

A. \( m=7;n=-\frac{3}{4} \)

B.  \( m=4;n=-3 \)           

C.  \( m=1;n=0 \)                     

D.  \( m=7;n=-\frac{4}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

 \( \vec{a} \) và  \( \vec{b} \) cùng hướng  \( \Leftrightarrow \vec{a}=k\vec{b}\text{ }(k>0) \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2=k \\  & m-1=3k \\  & 3=k(-2n) \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & k=2 \\  & m=7 \\  & n=-\frac{3}{4} \\ \end{align} \right.\).

Vậy \(m=7;n=-\frac{3}{4}\).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A(-1;2;-3), B(1;0;2), C(x;y;-2) thẳng hàng. Khi đó x + y bằng

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A(-1;2;-3), B(1;0;2), C(x;y;-2) thẳng hàng. Khi đó x + y bằng

A. \( x+y=1 \)

B.  \( x+y=17 \)               

C.  \( x+y=-\frac{11}{5} \)  

D.  \( x+y=\frac{11}{5} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Có  \( \overrightarrow{AB}=(2;-2;5) \),  \( \overrightarrow{AC}=(x+1;y-2;1) \)

A, B, C thẳng hàng  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \) cùng phương  \( \Leftrightarrow \frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{1}{5} \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-\frac{3}{5} \\  & y=\frac{8}{5} \\ \end{align} \right.\Rightarrow x+y=1 \)

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!