Gọi z là một nghiệm của phương trình \( {{z}^{2}}-z+1=0 \). Giá trị của biểu thức \( M={{z}^{2019}}+{{z}^{2018}}+\frac{1}{{{z}^{2019}}}+\frac{1}{{{z}^{2018}}}+5 \) bằng
A. 5
B. 2
C. 7
D. -1
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Phương trình \( {{z}^{2}}-z+1=0 \) có hai nghiệm \( z=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \).
Chọn \( z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3} \).
Áp dụng công thức Moivre: \( {{(\cos \varphi +i\sin \varphi )}^{n}}=\cos (n\varphi )+i\sin (n\varphi ),\text{ }\forall n\in \mathbb{N} \), ta được:
\( {{z}^{2019}}=\cos \frac{2019\pi }{3}+i\sin \frac{2019\pi }{3}=-1\Rightarrow \frac{1}{{{z}^{2019}}}=-1 \)
\( {{z}^{2018}}=\cos \frac{2018\pi }{3}+i\sin \frac{2018\pi }{3}=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3} \)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{z}^{2018}}}=\cos \left( -\frac{2\pi }{3} \right)+i\sin \left( -\frac{2\pi }{3} \right)=\cos \frac{2\pi }{3}-i\sin \frac{2\pi }{3} \).
Do đó, \( M=-1-1+\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}+\cos \frac{2\pi }{3}-i\sin \frac{2\pi }{3}+5=2 \).
Vậy M = 2.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!