Đường thẳng \( y={{m}^{2}} \) cắt đồ thị hàm số \( y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}-10 \) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông (O là gốc tọa độ). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \( {{m}^{2}}\in \left( 5;7 \right) \)
B. \( {{m}^{2}}\in \left( 3;5 \right) \)
C. \( {{m}^{2}}\in \left( 1;3 \right) \)
D. \( {{m}^{2}}\in \left( 0;1 \right) \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
\( {y}’=4{{x}^{3}}-2x=2x\left( 2{{x}^{2}}-1 \right) \);
\( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \right. \)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng \( y={{m}^{2}}\ge 0 \) luôn phía trên trục hoành nên nó luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B.
Gọi \( A\left( \sqrt{a};{{m}^{2}} \right)\) và \( B\left( -\sqrt{a};{{m}^{2}} \right) \) là giao điểm của hai đồ thị đã cho, với a > 0.
Ta có:
+ \( A\in \left( C \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}-a-10={{m}^{2}} \) (1)
+ Tam giác OAB cân tại O nên tam giác OAB vuông tại O \( \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{m}^{4}}=a \) (2)
Từ (1) và (2), ta có: \( {{m}^{8}}-{{m}^{4}}-{{m}^{2}}-10=0\Leftrightarrow {{t}^{4}}-{{t}^{2}}-t-10=0 \) với \( t={{m}^{2}}>0 \).
\( \Leftrightarrow \left( t-2 \right)\left( {{t}^{3}}+2{{t}^{2}}+3t+5 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow {{m}^{2}}=2\in \left( 1;3 \right) \)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!