Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=x^12+(m−5)x^7+(m^2−25)x^6+1 đạt cực đại tại x = 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( {y}’=12{{x}^{11}}+7\left( m-5 \right){{x}^{6}}+6\left( {{m}^{2}}-25 \right){{x}^{5}} \)

Trường hợp 1:  \( m=5\Rightarrow {y}’=12{{x}^{11}} \). Khi đó  \( {y}’=0\Leftrightarrow x=0 \) là nghiệm bội lẻ, đồng thời dấu của y’ đổi từ âm sang dương nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số, do đó không thỏa mãn, m = 5 loại.

Trường hợp 2:  \( m=-5 \) \( \Rightarrow {y}’={{x}^{6}}\left( 12{{x}^{5}}-70 \right)=0\Rightarrow x=0 \) là nghiệm bội chẵn, do đó y’ không đổi dấu khi đi qua x = 0 nên  \( m=-5 \) (loại)

Trường hợp 3:  \( m\ne \pm 5 \) \( \Rightarrow {y}’={{x}^{5}}\left[ 12{{x}^{6}}+7\left( m-5 \right)x+6\left( {{m}^{2}}-25 \right) \right]={{x}^{5}}.g(x) \)

Với  \( g(x)=12{{x}^{6}}+7\left( m-5 \right)x+6\left( {{m}^{2}}-25 \right) \), ta thấy x = 0 không là nghiệm của g(x).

Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y’ phải đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x = 0, xảy ra khi và chỉ khi

\( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)<0 \\ & \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)<0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow 6\left( {{m}^{2}}-25 \right)<0\Leftrightarrow -5 < m<5 \)

Vì m nguyên nên  \( m\in \left\{ -4;-3;…;3;4 \right\} \)

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn bài toán.