Cho phương trình: \( 4{{\cos }^{5}}x.sinx-4{{\sin }^{5}}xcosx={{\sin }^{2}}4x+m \) (1)
a) Biết rằng \( x=\pi \) là nghiệm của (1). Hãy giải (1) trong trường hợp đó.
b) Cho biết \( x=-\frac{\pi }{8} \) là một nghiệm của (1). Hãy tìm tất cả nghiệm của (1) thỏa \( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0 \).
Hướng dẫn giải:
\( (1)\Leftrightarrow 4\sin x\cos x({{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}x)={{\sin }^{2}}4x+m \)
\( \Leftrightarrow 2\sin 2x({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)({{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)={{\sin }^{2}}4x+m \)
\( \Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x={{\sin }^{2}}4x+m\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}4x-\sin 4x+m=0 \) (2)
a) \( x=\pi \) là nghiệm của (1) \( \Rightarrow {{\sin }^{2}}4\pi -\sin 4\pi +m=0\Rightarrow m=0 \).
Lúc đó \( (1)\Leftrightarrow \sin 4x(1-\sin 4x)=0\Leftrightarrow \sin 4x=0\vee \sin 4x=1 \)
\( \Leftrightarrow 4x=k\pi \vee 4x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{4}\vee x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
b) \( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t={{x}^{2}}\ge 0 \\ & {{t}^{2}}-3t+2<0 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t={{x}^{2}}\ge 0 \\ & 1 < t<2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow 1 < \left| x \right| < \sqrt{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& -\sqrt{2} < x<-1 \\ & 1 < x <\sqrt{2} \\ \end{align} \right. \) .
\( x=-\frac{\pi }{8} \) thì \( \sin 4x=\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right)=-1 \).
\( x=-\frac{\pi }{8} \) là nghiệm của \( (1)\Rightarrow 1+1+m=0\Leftrightarrow m=-2 \).
Lúc đó (2) thành: \( {{\sin }^{2}}4x-\sin 4x-2=0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin 4x=-1\text{ }(n) \\ & \sin 4x=2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 4x=-1 \)
\(\Leftrightarrow 4x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\).
Kết hợp với điều kiện (*) suy ra \( k=1 \).
Vậy (1) có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{8}\) thỏa {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0.
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!