Cho hàm số bậc ba y=f(x) có f′(1)=3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m và m∈[−10;10] để

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Do yêu cầu bài toán là phương trình có hai nghiệm dương phân biệt nên ta chỉ xét  \( x>0 \). Giả sử  \( f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \). Vì đồ thị đi qua các điểm  \( A\left( -\frac{5}{4};\frac{131}{64} \right),\text{ }B(0;4),\text{ }C(1;5) \) nên ta có:

 \( \left\{ \begin{align} & -\frac{125}{64}a+\frac{25}{16}b-\frac{5}{4}c+d=\frac{131}{64} \\  & d=4 \\  & a+b+c+d=5 \\ \end{align} \right. \)    (1)

Ta có  \( {f}'(1)=3\Leftrightarrow 3a+2b+c=3 \)  (2)

Từ (1) và (2), ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & b=0 \\  & c=0 \\  & d=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow f(x)={{x}^{3}}+4 \).

Điều kiện:  \( \frac{f(x)}{3m{{x}^{2}}}>0\Rightarrow m>0 \).

 \( \ln \frac{f(x)}{3m{{x}^{2}}}+x[f(x)-3mx]=3m{{x}^{3}}-f(x) \)

 \( \Leftrightarrow \ln f(x)-\ln (3m{{x}^{2}})+x\left[ f(x-3m{{x}^{2}}) \right]+f(x)-3m{{x}^{2}}=0 \)

Nếu  \( f(x)>m{{x}^{2}} \) thì  \( \log f(x)>\log (m{{x}^{2}}) \) và  \( xf(x)>x(m{{x}^{2}}),\forall x>0\Rightarrow (3) \) vô nghiệm.

Tương tự nếu  \( f(x)<m{{x}^{2}} \) thì phương trình (3) vô nghiệm.

Do đó  \( f(x)=3m{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{3}}+4=3m{{x}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{{x}^{3}}+4}{3{{x}^{2}}}=m \), vì  \( x>0 \).

Xét hàm số  \( g(x)=\frac{{{x}^{3}}+4}{3{{x}^{2}}} \) với  \( x>0 \).

 \( {g}'(x)=\frac{3{{x}^{4}}-24x}{9{{x}^{4}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\text{ }(\ell ) \\ & x=2\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \).

Ta có bảng biến thiên:

Để phương trình  \( \frac{{{x}^{3}}+4}{3{{x}^{2}}}=m \) có hai nghiệm dương phân biệt thì  \( m>1 \).

Mà  \( m\in \mathbb{Z} \) và  \( m\in [-10;10] \) nên  \( m\in \{2;3;…;10\} \).

Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.