Cho hàm đa thức y=[f(x2+2x)]′ có đồ thị cắt trục Ox tại 5 điểm phân biệt như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m với 2022m∈Z để hàm số g(x)=f(x^2−2|x−1|−2x+m) có 9 điểm cực trị

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có:  \( {{\left[ f({{x}^{2}}+2x) \right]}^{\prime }}=(2x+2){f}'({{x}^{2}}+2x)=a(x+3)(x+2)(x+1).x.(x-1)\text{ }(a>0) \).

 \( \Rightarrow {f}'({{x}^{2}}+2x)=\frac{a}{2}(x+3)(x+2)x(x-1)=\frac{a}{2}({{x}^{2}}+2x-3)({{x}^{2}}+2x) \).

Đặt \(t={{x}^{2}}+2x\Rightarrow {f}'(t)=\frac{a}{2}(t-3)t\).

Ta có  \( g(x)=f\left( {{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|-2x+m \right)=f\left( {{\left| x-1 \right|}^{2}}-2\left| x-1 \right|+m-1 \right) \).

Ta thấy  \( g(2-x)=g(x),\forall x\in \mathbb{R} \) nên đồ thị hàm số  \( y=g(x) \) nhận đường thẳng  \( x=1 \) làm trục đối xứng. Do đó, số điểm cực trị của hàm số g(x) bằng  \( 2a+1 \) với a là số điểm cực trị lớn hơn 1 của hàm số g(x). Theo bài ra ta có  \( 2a+1=9\Leftrightarrow a=4 \). Vì vậy ta cần tìm m để hàm số g(x) có đúng 4 điểm cực trị lớn hơn 1.

Khi  \( x>1 \) thì  \( g(x)=f({{x}^{2}}-4x+m+2) \).

\({g}'(x)=(2x-4){f}'({{x}^{2}}-4x+m+2),\text{ }{g}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\  & {{x}^{2}}-4x+m+2=0\begin{matrix}  {} & (1  \\\end{matrix}) \\  & {{x}^{2}}-4x+m+2=3\begin{matrix}   {} & (2  \\\end{matrix}) \\ \end{align} \right.\).

Đặt  \( u(x)={{x}^{2}}-4x+m+2 \), ta có bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để 2 phương trình (1), (2) có đúng 3 nghiệm phân biệt khác 2, điều này xảy ra khi và chỉ khi  \( m-2<0<m-1\Leftrightarrow 1<m<2 \).

Suy ra  \( 2022<2022m<4044\Rightarrow 2022m\in \{2023;2024;…;4043\} \), do đó có 2021 giá trị của m thỏa mãn bài toán.