Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z^3+2i|z|^2=0

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \( {{z}^{3}}+2i{{\left| z \right|}^{2}}=0 \).

A. 4

B. 3

C. 2                                   

D. 6

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

 \( {{z}^{3}}+2i{{\left| z \right|}^{2}}=0\Leftrightarrow {{z}^{3}}+2iz.\bar{z}=0\Leftrightarrow z({{z}^{2}}+2i\bar{z})=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & z=0 \\  & {{z}^{2}}+2i\bar{z}=0\begin{matrix}  {} & (*)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \)

Gọi  \( z=x+yi\Rightarrow \bar{z}=x-yi  \) với  \( x,y\in \mathbb{R} \) thay vào (*), ta có:

 \( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y+2x(y+1)i=0 \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y=0 \\  & 2x(y+1)=0 \\ \end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2y=0 \\ \left [ \begin{matrix} x=0 \\ y=-1 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \begin{cases} x=0 \\ -{{y}^{2}}+2y=0 \end{cases} \\ \begin{cases} y=-1 \\ {{x}^{2}}-3=0 \end{cases} \\\end{array}\right. \) \( \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=y=0 \\ \begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases} \\ \begin{cases} x=-\sqrt{3} \\ y=-1 \end{cases} \\ \begin{cases} x=\sqrt{3} \\ y=-1 \end{cases} \end{array}\right. \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}  & z=0 \\ & z=2i \\  & z=-\sqrt{3}-i \\  & z=\sqrt{3}-i \\ \end{align} \right. \)

Vậy phương trình có 4 nghiệm.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho số phức z=a+bi (a,b∈R) thỏa mãn |z−4|i+|z−2i|=√5(1+i). Tính giá trị của biểu thức T=a+b

Cho số phức \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \) thỏa mãn  \( \left| z-4 \right|i+\left| z-2i \right|=\sqrt{5}(1+i) \). Tính giá trị của biểu thức  \( T=a+b  \).

A. T = 2

B. T = 3

C.  \( T=-1 \)                    

D. T = 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( \left| z-4 \right|i+\left| z-2i \right|=\sqrt{5}(1+i) \) \( \Leftrightarrow \left| a+bi-4 \right|i+\left| a+bi-2i \right|=\sqrt{5}(1+i) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \left| a-4+bi \right|=\sqrt{5} \\  & \left| a+(b-2)i \right|=\sqrt{5} \\ \end{align} \right.\) \( \begin{matrix}  {} & \begin{align} & (1) \\  & (2) \\ \end{align}  \\\end{matrix} \)

Từ (1) và (2), ta có:  \( \left| a-4+bi \right|=\left| a+(b-2)i \right|\Leftrightarrow {{(a-4)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{(b-2)}^{2}} \)

 \( \Rightarrow b=2a-3 \)

Kết hợp với (1), ta được:  \( \left\{ \begin{align} & {{(a-4)}^{2}}+{{b}^{2}}=5 \\  & b=2a-3 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=2 \\  & b=1 \\ \end{align} \right. \)

Vậy  \( T=a+b=3 \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn |z|−2z¯=−7+3i+z. Môđun của số phức w=1−z+z^2 bằng

Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn \( \left| z \right|-2\bar{z}=-7+3i+z  \). Môđun của số phức  \( w=1-z+{{z}^{2}} \)  bằng

A. \( \left| w \right|=\sqrt{445} \)

B.  \( \left| w \right|=\sqrt{425} \)             

C.  \( \left| w \right|=\sqrt{37} \)                

D.  \( \left| w \right|=\sqrt{457} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đặt  \( z=a+bi\text{ }(a\in \mathbb{Z},\text{ }b\in \mathbb{R}) \).

Khi đó: \(\left| z \right|-2\bar{z}=-7+3i+z\)\(\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-2a+2bi=-7+3i+a+bi\)

 \( \Leftrightarrow \left( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-3a+7 \right)+\left( b-3 \right)i=0 \) \( \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \begin{cases} b=3 \\ a=\frac{5}{4} \end{cases} \\ \begin{cases} b=3 \\ a=4 \end{cases} \\\end{array}\right. \),  \( \left( a\ge \frac{7}{3} \right) \)

Do  \( a\in \mathbb{Z} \) nên  \( a=4\Rightarrow z=4+3i  \)

 \( \Rightarrow w=4+21i\Rightarrow \left| w \right|=\sqrt{457} \)

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn các điều kiện |z1|=|z2|=2 và |z1+2z2|=4. Giá trị của |2z1−z2| bằng

Cho hai số phức \( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \) thỏa mãn các điều kiện  \( \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2 \) và  \( \left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=4 \). Giá trị của  \( \left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right| \) bằng

A. \( 2\sqrt{6} \)

B.  \( \sqrt{6} \)

C.  \( 3\sqrt{6} \)                                        

D. 8

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Giả sử  \( {{z}_{1}}=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \);  \( {{z}_{2}}=c+di\text{ }(c,d\in \mathbb{R}) \).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ \begin{align} & \left| {{z}_{1}} \right|=2 \\  & \left| {{z}_{2}} \right|=2 \\ & \left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=4 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\  & {{c}^{2}}+{{d}^{2}}=4 \\  & {{(a+2c)}^{2}}+{{(b+2d)}^{2}}=16 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \\  & {{c}^{2}}+{{d}^{2}}=4 \\  & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4({{c}^{2}}+{{d}^{2}})+4(ac+bd)=16 \\ \end{align} \right.\)\(\begin{matrix}   {} & \begin{align}  & (1) \\  & (2) \\  & (3) \\ \end{align}  \\\end{matrix}\)

Thay (1), (2) vào (3) ta được:  \( ac+bd=-1\begin{matrix}   {} & (4)  \\\end{matrix} \).

Ta có:  \( \left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{(2a-c)}^{2}}+{{(2b-d)}^{2}}}=\sqrt{4({{a}^{2}}+{{b}^{2}})+({{c}^{2}}+{{d}^{2}})-4(ac+bd)}\begin{matrix}   {} & (5)  \\\end{matrix} \)

Thay (1), (2), (4) vào (5) ta có:  \( \left| 2{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{6} \)

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z+3i|=√3 và z/(z+2) số thuần ảo?

(THPTQG – 2017 – 105) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \( \left| z+3i \right|=\sqrt{13} \) và  \( \frac{z}{z+2} \) số thuần ảo?

A. 0

B. 2

C. Vô số                            

D. 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi số phức  \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \)

Ta có:  \( \left| z+3i \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow \left| a+bi+3i \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b+3)}^{2}}=13 \)

 \( \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6b-4=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4-6b  \)    (1)

 \( \frac{z}{z+2}=1-\frac{2}{z+2}=1-\frac{2}{a+2+bi}=1-\frac{2(a+2-bi)}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}} \)

 \( =\frac{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}-2a-4}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{2b}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}i=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{2b}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}i  \)

Do  \( \frac{z}{z+2} \) là số thuần ảo nên \(\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a=0\begin{matrix} {} & (2)  \\\end{matrix} \\  & a\ne -2 \\  & b\ne 0 \\ \end{align} \right.\)

Thay (1) vào (2) ta có  \( 4-6b+2a=0\Leftrightarrow a=3b-2 \) thay vào (1), ta có:

 \( {{(3b-2)}^{2}}+{{b}^{2}}-4+6b=0\Leftrightarrow 10{{b}^{2}}-6b=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & b=0\text{ }(\ell ) \\  & b=\frac{3}{5}\Rightarrow a=-\frac{1}{5} \\ \end{align} \right. \)

Vậy có 1 số phức cần tìm.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|(z−3−i)+2i=(4−i)z?

(THPTQG – 2018 – 102) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \( \left| z \right|(z-3-i)+2i=(4-i)z  \)?

A. 1

B. 3

C. 2                                   

D. 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( \left| z \right|(z-3-i)+2i=(4-i)z  \) \( \Leftrightarrow \left( \left| z \right|-4+i \right)z=3\left| z \right|+\left( \left| z \right|-2 \right)I \)      (*)

 \( \Rightarrow \sqrt{{{\left( \left| z \right|-4 \right)}^{2}}+1}.\left| z \right|=\sqrt{9{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}} \)         (1)

Đặt  \( m=\left| z \right|\ge 0 \), ta có:  \( (1)\Leftrightarrow \left( {{(m-4)}^{2}}+1 \right).{{m}^{2}}=9{{m}^{2}}+{{(m-2)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{4}}-8{{m}^{3}}+7{{m}^{2}}+4m-4=0 \) \( \Leftrightarrow (m-1)({{m}^{3}}-7{{m}^{2}}+4)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\  & {{m}^{3}}-7{{m}^{2}}+4=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\  & m\approx 6,91638… \\  & m\approx 0,80344… \\  & m\approx -0,71982…\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)

Từ (*) ta suy ra ứng với mỗi  \( \left| z \right|=m  \) sẽ có một số phức  \( z=\frac{3m+(m-2)i}{m-4+i} \) thỏa mãn đề bài.

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho bao nhiêu số phức thỏa mãn |z|(z−6−i)+2i=(7−i)z?

(THPTQG – 2018 – 103) Cho bao nhiêu số phức thỏa mãn \( \left| z \right|\left( z-6-i \right)+2i=\left( 7-i \right)z \)?

A. 1

B. 4

C. 2                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đặt  \( \left| z \right|=a\ge 0,\text{ }a\in \mathbb{R} \), khi đó ta có:

 \( \left| z \right|\left( z-6-i \right)+2i=\left( 7-i \right)z  \) \( \Leftrightarrow a(z-6-i)+2i=(7-i)z\Leftrightarrow (a-7+i)z=6a+ai-2i  \)

 \( \Leftrightarrow (a-7+i)z=6a+(a-2)i\Leftrightarrow \left| (a-7+i) \right|\left| z \right|=\left| 6a+(a-2)i \right| \)

 \( \Leftrightarrow \left[ {{(a-7)}^{2}}+1 \right]{{a}^{2}}=36{{a}^{2}}+{{(a-2)}^{2}} \) \( \Leftrightarrow {{a}^{4}}-14{{a}^{3}}+13{{a}^{2}}+4a-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow (a-1)({{a}^{3}}-13{{a}^{2}}+4)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=1 \\  & {{a}^{3}}-13{{a}^{2}}+4=0 \\ \end{align} \right. \)

Xét hàm số  \( f(a)={{a}^{3}}-13{{a}^{2}}\text{ }(a\ge 0) \), có bảng biến thiên là:

Đường thẳng  \( y=-4 \) cắt đồ thị hàm số  \( f(a) \) tại hai điểm nên phương trình  \( {{a}^{3}}-12{{a}^{2}}+4=0 \) có hai nghiệm khác 1 (do  \( f(1)\ne 0 \) ). Mỗi giá trị của a cho ta một số phức z.

Vậy có 3 số phức thỏa mãn điều kiện.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|(z−5−i)+2i=(6−i)z?

(THTPQG – 2018 – 104) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \( \left| z \right|(z-5-i)+2i=(6-i)z  \)?

A. 1

B. 3                                   

C. 4                                   

D. 2

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \left| z \right|(z-5-i)+2i=(6-i)z  \) \( \Leftrightarrow \left( \left| z \right|-6+i \right)z=5\left| z \right|+\left( \left| z \right|-2 \right)I \)      (1)

Lấy môđun hai vế của (1), ta có:

 \( \sqrt{{{\left( \left| z \right|-6 \right)}^{2}}+1}.\left| z \right|=\sqrt{25{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}} \)

Bình phương và rút gọn ta được:

 \( {{\left| z \right|}^{4}}-12{{\left| z \right|}^{3}}+4\left| z \right|-4=0\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-1 \right)\left( {{\left| z \right|}^{3}}-11{{\left| z \right|}^{2}}+4 \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \left| z \right|=1 \\  & {{\left| z \right|}^{3}}-11{{\left| z \right|}^{2}}+4=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \left| z \right|=1 \\  & \left| z \right|=10,9667… \\  & \left| z \right|=0,62… \\ & \left| z \right|=-0,587… \\ \end{align} \right. \)

Do  \( \left| z \right|\ge 0 \) nên  \( \left[ \begin{align}  & \left| z \right|=1 \\  & \left| z \right|=10,9667… \\  & \left| z \right|=0,62… \\ \end{align} \right. \) thay vào (1) ta có 3 số phức thỏa mãn đề bài.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z+2−i|=2√2 và (z−1)^2 là số thuần ảo?

(THPTQG – 2017 – 110) Cho bao nhiêu số phức z thỏa mãn \( \left| z+2-i \right|=2\sqrt{2} \) và  \( {{(z-1)}^{2}} \) là số thuần ảo?

A. 0

B. 2

C. 4                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi số phức  \( z=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \)

Vì  \( {{(z-1)}^{2}}=\left[ {{(x-1)}^{2}}-{{y}^{2}} \right]+2(x-1)yi  \) là số thuần ảo nên theo đề bài ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{align} & {{(x+2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=8 \\  & {{(x-1)}^{2}}={{y}^{2}} \\ \end{align} \right.\begin{matrix}   {} & \begin{matrix}  (1)  \\  (2)  \\\end{matrix}  \\\end{matrix}\)

Từ (2) suy ra:  \( y=\pm (x-1) \)

+ Với  \( y=x-1 \), thay vào (1), ta được:  \( {{(x+2)}^{2}}+{{(x-2)}^{2}}=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=0 \)

Suy ra:  \( {{z}_{1}}=-i  \).

+ Với  \( y=-(x-1) \), thay vào (1), ta được:

 \( {{(x+2)}^{2}}+{{(-x)}^{2}}=8\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+4x-4=0\Leftrightarrow x=-1\pm \sqrt{3} \)

Suy ra:  \( \left\{ \begin{align}  & {{z}_{2}}=-1+\sqrt{3}+(2-\sqrt{3})i \\  & {{z}_{3}}=-1-\sqrt{3}+(2+\sqrt{3})i \\ \end{align} \right. \)

Vậy có 3 số phức thỏa mãn.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!