Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|(z−3−i)+2i=(4−i)z?

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( \left| z \right|(z-3-i)+2i=(4-i)z  \) \( \Leftrightarrow \left( \left| z \right|-4+i \right)z=3\left| z \right|+\left( \left| z \right|-2 \right)I \)      (*)

 \( \Rightarrow \sqrt{{{\left( \left| z \right|-4 \right)}^{2}}+1}.\left| z \right|=\sqrt{9{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}} \)         (1)

Đặt  \( m=\left| z \right|\ge 0 \), ta có:  \( (1)\Leftrightarrow \left( {{(m-4)}^{2}}+1 \right).{{m}^{2}}=9{{m}^{2}}+{{(m-2)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{4}}-8{{m}^{3}}+7{{m}^{2}}+4m-4=0 \) \( \Leftrightarrow (m-1)({{m}^{3}}-7{{m}^{2}}+4)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\  & {{m}^{3}}-7{{m}^{2}}+4=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\  & m\approx 6,91638… \\  & m\approx 0,80344… \\  & m\approx -0,71982…\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)

Từ (*) ta suy ra ứng với mỗi  \( \left| z \right|=m  \) sẽ có một số phức  \( z=\frac{3m+(m-2)i}{m-4+i} \) thỏa mãn đề bài.

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.