Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2021;2021] để hàm số g(x)=f(∣x^5+4x∣+m) có ít nhất 5 điểm cực trị

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Hàm số  \( y={{x}^{5}}+4x\Rightarrow {y}’=5{{x}^{4}}+4>0,\forall x\in \mathbb{R} \).

Do đó  \( y={{x}^{5}}+4x \) là hàm số lẻ và đồng biến trên  \( \mathbb{R} \),  \( {{x}^{5}}+4x>0\Leftrightarrow x>0 \);  \( {{x}^{5}}+4x<0\Leftrightarrow x<0 \).

Vậy hàm số  \( g(x)=f\left( \left| {{x}^{5}}+4x \right|+m \right) \) có ít nhất 5 điểm cực trị  \( \Leftrightarrow h(x)=f({{x}^{5}}+4x+m) \) có ít nhất hai điểm cực trị dương.

Ta có:  \( {h}'(x)=(5{{x}^{4}}+4){f}'({{x}^{5}}+4x+m)\Rightarrow {h}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{5}}+4x+m=0 \\  & {{x}^{5}}+4x+m=2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{5}}+4x=-m \\  & {{x}^{5}}+4x=2-m \\ \end{align} \right. \).

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow  \) Tổng số giao điểm có hoành độ dương khác nhau của đồ thị hàm số  \( y={{x}^{5}}+4x \) với hai đường thẳng  \( y=-m;\text{ }y=2-m \) ít nhất là 2.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -m>0 \\  & 2-m>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m<0 \).

Do m nguyên và thuộc đoạn  \( [-2021;2021] \) nên có 2021 giá trị m thỏa mãn đề bài.