Cho hàm số y=x^4−3x^2−2. Tìm số thực dương m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc tọa độ

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:  \( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2=m\) \( \Leftrightarrow {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2-m=0 \)  (1)

Vì  \( m>0\Leftrightarrow -2-m<0 \) hay phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

 \( {{x}^{2}}=\frac{3+\sqrt{4m+17}}{2} \) \( \Rightarrow {{x}_{1}}=\sqrt{\frac{3+\sqrt{4m+17}}{2}} \) và  \( {{x}_{2}}=-\sqrt{\frac{3+\sqrt{4m+17}}{2}} \).

Khi đó: \(A\left( {{x}_{1}};m \right)\), \(B\left( {{x}_{2}};m \right)\).

Ta có tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc tọa độ  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{m}^{2}}=0 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{3+\sqrt{4m+17}}{2}={{m}^{2}} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2{{m}^{2}}-3\ge 0 \\  & 4{{m}^{4}}-12{{m}^{2}}-4m-8=0 \\ \end{align} \right. \) \( \underset{2{{m}^{2}}-3\ge 0}{\overset{m>0}{\longleftrightarrow}}m=2 \)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.