Cho hàm số y=2x/(x−1) có đồ thị là (C). Tìm tập hợp tất cả các giá trị a∈R để qua điểm M(0;a) có thể kẻ được đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm M

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Đường thẳng có hệ số góc k đi qua điểm M(0;a) có dạng  \( y=kx+a  \).

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng  \( y=kx+a  \) là:

 \( \frac{2x}{x-1}=kx+a\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne 1 \\  & 2x=k{{x}^{2}}-kx+ax-a \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne 1 \\  & k{{x}^{2}}+\left( a-k-2 \right)x-a=0\text{ }(*) \\ \end{align} \right. \)

Ta cần tìm điều kiện của a để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác 1 và thỏa mãn  \( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \)

Điều kiện này tương đương với  \( \left\{ \begin{align}  & k\ne 0 \\  & {{\left( a-k-2 \right)}^{2}}+4ka>0 \\  & k{{.1}^{2}}+\left( a-k-2 \right).1-a\ne 0 \\  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & k\ne 0 \\  & {{\left( a-k-2 \right)}^{2}}+4ka>0 \\  & -2\ne 0 \\  & \frac{k+2-a}{k}=0 \\ \end{align} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & k\ne 0 \\ & k=a-2 \\ & 4\left( a-2 \right)a>0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a-2\ne 0 \\  & k=a-2 \\ & a\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow a\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right)\)