Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a(b−c)^5+b(c−a)^5+c(a−b)^5

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn \( a\ge 7.\max \{b,c\} \);  \( a+b+c=1 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \( P=a{{(b-c)}^{5}}+b{{(c-a)}^{5}}+c{{(a-b)}^{5}} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( P=(a-b)(b-c)(c-a)\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+ab(a+b)+bc(c+a)+ca(c+a)-9abc \right) \)

 \( =(a-b)(b-c)(c-a)\left[ \frac{1}{3}{{(a+b+c)}^{3}}+\frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})-11abc \right] \)

 \( =(a-b)(b-c)(c-a)\left[ \frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})-11abc+\frac{1}{3} \right] \).

Trước tiên chuyển về biểu thức đối xứng 3 biến để dễ xử lý.

Lấy trị tuyệt đối ta được:

 \( \left| P \right|=\left| (a-b)(b-c)(c-a) \right|.\left| \frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})+\frac{1}{3}-11abc \right| \)

 \( \le \left| (a-b)(b-c)(c-a) \right|.\left| \frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})+\frac{1}{3} \right| \)

Bởi vì:  \( 0\le abc\le {{\left( \frac{a+b+c}{3} \right)}^{3}}=\frac{1}{27} \);

 \( \frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})+\frac{1}{3}-11abc\ge \frac{2}{3}.3abc+\frac{1}{3}-11abc=\frac{1}{3}-9abc\ge 0 \).

Ta đi tìm giá trị lớn nhất của  \( \left| P \right| \) khi đó  \( a,b,c  \) vài trò như nhau kết quả với giả thiết nên ta có thể giả sử  \( a\ge b\ge c  \).

Khi đó:  \( \left| P \right|\le \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{3}\left[ 2({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})+1 \right] \).

+ Ta có các đánh giá cơ bản:  \( (a-b)(b-c)(a-c)\le ab(a-b)\le b(1-b)(1-2b) \);

 \( 2({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})=2{{b}^{3}}+2({{a}^{3}}+{{c}^{3}})\le 2{{b}^{3}}+2{{(a+c)}^{3}}=2{{b}^{3}}+2{{(1-b)}^{3}} \).

Suy ra:  \( \left| P \right|\le \frac{b(1-b)(1-2b)(2{{b}^{3}}+2{{(1-b)}^{3}}+1)}{3}=\frac{b(1-b)(1-2b)(2{{b}^{2}}-2b+1)}{3} \).

Chú ý: Điều kiện  \( a\ge 7.\max \{b,c\};a+b+c=1\Rightarrow b\in \left[ 0;\frac{1}{8} \right] \).

Xét hàm số  \( f(b)=\frac{b(1-b)(1-2b)(2{{b}^{2}}-2b+1)}{3} \) trên đoạn  \( \left[ 0;\frac{1}{8} \right] \), ta có:

 \( {f}'(b)=20{{b}^{4}}-40{{b}^{3}}+30{{b}^{2}}-10b+1 \);

 \( {f}”(b)=80{{b}^{3}}-120{{b}^{2}}+60b-10=40{{b}^{2}}(2b-3)+10(6b-1)<0,\forall b\in \left[ 0;\frac{1}{8} \right] \).

Suy ra:  \( {f}”(b)\ge f\left( \frac{1}{8} \right)=\frac{149}{1024}>0 \). Vì vậy  \( f(b) \) đồng biến trên đoạn  \( \left[ 0;\frac{1}{8} \right] \).

Suy ra  \( \left| P \right|\le f\left( \frac{1}{8} \right)=\frac{525}{8192}\Leftrightarrow -\frac{525}{8192}\le P\le \frac{525}{8192} \).

Dấu “=” đạt tại  \( b=\frac{1}{8};c=0;a=\frac{7}{8} \).

Vậy  \( P=-\frac{525}{8192} \).

Chú ý: Câu hỏi đặt ra là tại sao phân tích được P như trên. Nhận thấy khi  \( a=b=c\Rightarrow P=0 \).

Do đó P có các nhân tử  \( (a-b)(b-c)(c-a) \). Nói thêm có thể không cần điều kiện  \( a\ge 7.\max \{b;c\} \). Việc chặn thêm điều kiện này chỉ nhằm mục đích bài toán có kết quả đẹp.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *