Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a(b−c)^5+b(c−a)^5+c(a−b)^5

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( P=(a-b)(b-c)(c-a)\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+ab(a+b)+bc(c+a)+ca(c+a)-9abc \right) \)

 \( =(a-b)(b-c)(c-a)\left[ \frac{1}{3}{{(a+b+c)}^{3}}+\frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})-11abc \right] \)

 \( =(a-b)(b-c)(c-a)\left[ \frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})-11abc+\frac{1}{3} \right] \).

Trước tiên chuyển về biểu thức đối xứng 3 biến để dễ xử lý.

Lấy trị tuyệt đối ta được:

 \( \left| P \right|=\left| (a-b)(b-c)(c-a) \right|.\left| \frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})+\frac{1}{3}-11abc \right| \)

 \( \le \left| (a-b)(b-c)(c-a) \right|.\left| \frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})+\frac{1}{3} \right| \)

Bởi vì:  \( 0\le abc\le {{\left( \frac{a+b+c}{3} \right)}^{3}}=\frac{1}{27} \);

 \( \frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})+\frac{1}{3}-11abc\ge \frac{2}{3}.3abc+\frac{1}{3}-11abc=\frac{1}{3}-9abc\ge 0 \).

Ta đi tìm giá trị lớn nhất của  \( \left| P \right| \) khi đó  \( a,b,c  \) vài trò như nhau kết quả với giả thiết nên ta có thể giả sử  \( a\ge b\ge c  \).

Khi đó:  \( \left| P \right|\le \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{3}\left[ 2({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})+1 \right] \).

+ Ta có các đánh giá cơ bản:  \( (a-b)(b-c)(a-c)\le ab(a-b)\le b(1-b)(1-2b) \);

 \( 2({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})=2{{b}^{3}}+2({{a}^{3}}+{{c}^{3}})\le 2{{b}^{3}}+2{{(a+c)}^{3}}=2{{b}^{3}}+2{{(1-b)}^{3}} \).

Suy ra:  \( \left| P \right|\le \frac{b(1-b)(1-2b)(2{{b}^{3}}+2{{(1-b)}^{3}}+1)}{3}=\frac{b(1-b)(1-2b)(2{{b}^{2}}-2b+1)}{3} \).

Chú ý: Điều kiện  \( a\ge 7.\max \{b,c\};a+b+c=1\Rightarrow b\in \left[ 0;\frac{1}{8} \right] \).

Xét hàm số  \( f(b)=\frac{b(1-b)(1-2b)(2{{b}^{2}}-2b+1)}{3} \) trên đoạn  \( \left[ 0;\frac{1}{8} \right] \), ta có:

 \( {f}'(b)=20{{b}^{4}}-40{{b}^{3}}+30{{b}^{2}}-10b+1 \);

 \( {f}”(b)=80{{b}^{3}}-120{{b}^{2}}+60b-10=40{{b}^{2}}(2b-3)+10(6b-1)<0,\forall b\in \left[ 0;\frac{1}{8} \right] \).

Suy ra:  \( {f}”(b)\ge f\left( \frac{1}{8} \right)=\frac{149}{1024}>0 \). Vì vậy  \( f(b) \) đồng biến trên đoạn  \( \left[ 0;\frac{1}{8} \right] \).

Suy ra  \( \left| P \right|\le f\left( \frac{1}{8} \right)=\frac{525}{8192}\Leftrightarrow -\frac{525}{8192}\le P\le \frac{525}{8192} \).

Dấu “=” đạt tại  \( b=\frac{1}{8};c=0;a=\frac{7}{8} \).

Vậy  \( P=-\frac{525}{8192} \).

Chú ý: Câu hỏi đặt ra là tại sao phân tích được P như trên. Nhận thấy khi  \( a=b=c\Rightarrow P=0 \).

Do đó P có các nhân tử  \( (a-b)(b-c)(c-a) \). Nói thêm có thể không cần điều kiện  \( a\ge 7.\max \{b;c\} \). Việc chặn thêm điều kiện này chỉ nhằm mục đích bài toán có kết quả đẹp.