Cho phương trình: (4−6m)sin3x+3(2m−1)sinx+2(m−2)sin2xcosx−(4m−3)cosx=0

Hướng dẫn giải:

+ Xét  \( x=\frac{\pi }{2}+k\pi \)  thì  \( \cos x=0 \) và  \( \sin x=\pm 1 \) nên

(*) thành:  \( \pm (4-6m)\pm 3(2m-1)=0\Leftrightarrow 1=0 \): vô nghiệm.

+ Chia hai vế phương trình (*) cho  \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) thì:

(*) \( \Leftrightarrow (4-6m){{\tan }^{3}}x+3(2m-1)\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)+2(m-2){{\tan }^{2}}x-(4m-3)(1+{{\tan }^{2}}x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\ & {{t}^{3}}-(2m+1){{t}^{2}}+3(2m-1)t-4m+3=0\begin{matrix}  {} & (**)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & (t-1)({{t}^{2}}-2mt+4m-3)=0 \\ \end{align} \right. \).

a) Khi \( m=2 \) thì (*) thành: \( \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & (t-1)({{t}^{2}}-4t+5)=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Ta có: \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \) thì \( \tan x=t\in [0;1] \).

Xét phương trình:  \( {{t}^{2}}-2mt+4m-3=0 \)  (2)

 \( \Leftrightarrow {{t}^{2}}-3=2m(t-2)\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-3}{t-2}=2m \) (do  \( t=2 \) không là nghiệm)

Đặt  \( y=f(t)=\frac{{{t}^{2}}-3}{t-2} \)  (C) và  \( (d):y=2m \).

Ta có:  \( {y}’=f(t)=\frac{{{t}^{2}}-4t+3}{{{(t-2)}^{2}}} \).

Do (**) luôn có nghiệm  \( t=1\in [0;1] \) trên yêu cầu bài toán

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & (d):y=2m\text{ không có nghiệm chung với }(C) \\  & (d)\text{ cắt  }(C)\text{ tại 1 điểm duy nhất }t=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow 2m<\frac{3}{2}\vee 2m\ge 2\Leftrightarrow m<\frac{3}{4}\vee m\ge 1 \).