Cho phương trình: (4−6m)sin3x+3(2m−1)sinx+2(m−2)sin2xcosx−(4m−3)cosx=0

Cho phương trình: \( (4-6m){{\sin }^{3}}x+3(2m-1)\sin x+2(m-2){{\sin }^{2}}x\cos x-(4m-3)\cos x=0 \)  (*)

a) Giải phương trình khi \( m=2 \).

b) Tìm m để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm trên \( \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \).

Hướng dẫn giải:

+ Xét  \( x=\frac{\pi }{2}+k\pi \)  thì  \( \cos x=0 \) và  \( \sin x=\pm 1 \) nên

(*) thành:  \( \pm (4-6m)\pm 3(2m-1)=0\Leftrightarrow 1=0 \): vô nghiệm.

+ Chia hai vế phương trình (*) cho  \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) thì:

(*) \( \Leftrightarrow (4-6m){{\tan }^{3}}x+3(2m-1)\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)+2(m-2){{\tan }^{2}}x-(4m-3)(1+{{\tan }^{2}}x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\ & {{t}^{3}}-(2m+1){{t}^{2}}+3(2m-1)t-4m+3=0\begin{matrix}  {} & (**)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & (t-1)({{t}^{2}}-2mt+4m-3)=0 \\ \end{align} \right. \).

a) Khi \( m=2 \) thì (*) thành: \( \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & (t-1)({{t}^{2}}-4t+5)=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Ta có: \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \) thì \( \tan x=t\in [0;1] \).

Xét phương trình:  \( {{t}^{2}}-2mt+4m-3=0 \)  (2)

 \( \Leftrightarrow {{t}^{2}}-3=2m(t-2)\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-3}{t-2}=2m \) (do  \( t=2 \) không là nghiệm)

Đặt  \( y=f(t)=\frac{{{t}^{2}}-3}{t-2} \)  (C) và  \( (d):y=2m \).

Ta có:  \( {y}’=f(t)=\frac{{{t}^{2}}-4t+3}{{{(t-2)}^{2}}} \).

Do (**) luôn có nghiệm  \( t=1\in [0;1] \) trên yêu cầu bài toán

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & (d):y=2m\text{ không có nghiệm chung với }(C) \\  & (d)\text{ cắt  }(C)\text{ tại 1 điểm duy nhất }t=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow 2m<\frac{3}{2}\vee 2m\ge 2\Leftrightarrow m<\frac{3}{4}\vee m\ge 1 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *