Cho phương trình: \( (4-6m){{\sin }^{3}}x+3(2m-1)\sin x+2(m-2){{\sin }^{2}}x\cos x-(4m-3)\cos x=0 \) (*)
a) Giải phương trình khi \( m=2 \).
b) Tìm m để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm trên \( \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \).
Hướng dẫn giải:
+ Xét \( x=\frac{\pi }{2}+k\pi \) thì \( \cos x=0 \) và \( \sin x=\pm 1 \) nên
(*) thành: \( \pm (4-6m)\pm 3(2m-1)=0\Leftrightarrow 1=0 \): vô nghiệm.
+ Chia hai vế phương trình (*) cho \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) thì:
(*) \( \Leftrightarrow (4-6m){{\tan }^{3}}x+3(2m-1)\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)+2(m-2){{\tan }^{2}}x-(4m-3)(1+{{\tan }^{2}}x)=0 \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\ & {{t}^{3}}-(2m+1){{t}^{2}}+3(2m-1)t-4m+3=0\begin{matrix} {} & (**) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\ & (t-1)({{t}^{2}}-2mt+4m-3)=0 \\ \end{align} \right. \).
a) Khi \( m=2 \) thì (*) thành: \( \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\ & (t-1)({{t}^{2}}-4t+5)=0 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
b) Ta có: \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \) thì \( \tan x=t\in [0;1] \).
Xét phương trình: \( {{t}^{2}}-2mt+4m-3=0 \) (2)
\( \Leftrightarrow {{t}^{2}}-3=2m(t-2)\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-3}{t-2}=2m \) (do \( t=2 \) không là nghiệm)
Đặt \( y=f(t)=\frac{{{t}^{2}}-3}{t-2} \) (C) và \( (d):y=2m \).
Ta có: \( {y}’=f(t)=\frac{{{t}^{2}}-4t+3}{{{(t-2)}^{2}}} \).
Do (**) luôn có nghiệm \( t=1\in [0;1] \) trên yêu cầu bài toán
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & (d):y=2m\text{ không có nghiệm chung với }(C) \\ & (d)\text{ cắt }(C)\text{ tại 1 điểm duy nhất }t=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow 2m<\frac{3}{2}\vee 2m\ge 2\Leftrightarrow m<\frac{3}{4}\vee m\ge 1 \).
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!