Cho số phức z thỏa |z−1+2i|=3. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w=2z+i trên mặt phẳng (Oxy) là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó

Cho số phức z thỏa \( \left| z-1+2i \right|=3 \). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức  \( w=2z+i \) trên mặt phẳng (Oxy) là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó.

A. I(2;-3)

B. I(1;1)

C. I(0;1)                           

D. I(1;0)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi M là điểm biểu diễn số phức w.

Ta có:  \( w=2z+i\Leftrightarrow z=\frac{w-i}{2} \).

Do đó,  \( \left| z-1+2i \right|=3\Leftrightarrow \left| \frac{w-i}{2}-1+2i \right|=3 \)  \( \Leftrightarrow \left| w-2+3i \right|=6\Leftrightarrow MI=6 \), với  \( I(2;-3) \).

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm  \( I(2;-3) \) và bán kính R = 6.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho số phức z thỏa mãn |z|=2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=3−2i+(2−i)z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đó

Cho số phức z thỏa mãn \( \left| z \right|=2 \). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức  \( w=3-2i+(2-i) \)z là một đường tròn. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn đó?

A. \( I(3;-2) \)

B.  \( I(-3;2) \)                  

C.  \( I(3;2) \)                   

D.  \( I(-3;-2) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Cách 1:

Đặt  \( w=x+yi  \). Ta có:  \( w=3-2i+(2-i)z\Leftrightarrow x+yi=3-2i+(2-i)z  \)

 \( \Leftrightarrow (2-i)z=(x-3)+(y+2)i\Leftrightarrow (4-{{i}^{2}})z=\left[ (x-3)+(y+2)i \right].(2+i) \)

 \( \Leftrightarrow z=\frac{2x-y-8}{5}+\frac{x+2y+1}{5}i  \)

Vì  \( \left| z \right|=2 \) nên  \( {{\left( \frac{2x-y-8}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{x+2y+1}{5} \right)}^{2}}=4 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+4y+13=20\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=20 \)

Vậy tập hợp biểu diễn số phức w là đường tròn tâm  \( I(3;-2) \).

Cách 2:

Đặt  \( z=a+bi;\text{ }w=x+yi  \).

Vì  \( \left| z \right|=2 \) nên  \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4 \).

Ta có:  \( w=3-2i+(2-i)z\Leftrightarrow x+yi+2i-3=(2-i)(a+bi) \)

 \( \Leftrightarrow (x-3)+(y+2)i=(2a+b)+(2b-a)i \)

 \( \Rightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}={{(2a+b)}^{2}}+{{(2b-a)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=5({{a}^{2}}+{{b}^{2}})\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}=20 \)

Vậy tập hợp biểu diễn số phức w là đường tròn tâm  \( I(3;-2) \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Xét các số phức z thỏa mãn |z|=√2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=(2+iz)/(1+z) là một đường tròn có bán kính bằng

(THPTQG – 2019 – 103) Xét các số phức z thỏa mãn \( \left| z \right|=\sqrt{2} \). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức  \( w=\frac{2+iz}{1+z} \) là một đường tròn có bán kính bằng

A. \( \sqrt{10} \)                                           

B.  \( \sqrt{2} \)

C. 2                  

D. 10

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi số phức  \( w=x+yi  \),  \( (x,y\in \mathbb{R}) \). Khi đó:

 \( w=\frac{2+iz}{1+z}\Leftrightarrow w(1+z)=2+iz\Leftrightarrow w-2=z(i-w) \)

 \( \Rightarrow \left| w-2 \right|=\left| z(i-w) \right|\Leftrightarrow \left| w-2 \right|=\left| z \right|.\left| z(i-w) \right| \)

 \( \Leftrightarrow {{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}=2\left[ {{x}^{2}}+{{(1-y)}^{2}} \right]\Leftrightarrow {{(x+2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=10 \)       (*)

Từ (*) suy ra điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn có bán kính  \( R=\sqrt{10} \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Xét số phức z thỏa mãn |z|=√2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức w=(3+iz)/(1+z) là một đường tròn có bán kính bằng

(THPTQG – 2019 – 102) Xét số phức z thỏa mãn \( \left| z \right|=\sqrt{2} \). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức  \( w=\frac{3+iz}{1+z} \) là một đường tròn có bán kính bằng

A. \( 2\sqrt{5} \)                                           

B. 20             

C. 12                  

D.  \( 2\sqrt{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( w=\frac{3+iz}{1+z}\Leftrightarrow w+wz=3+iz\Leftrightarrow w-3=(i-w)z  \)

 \( \Rightarrow \left| w-3 \right|=\left| (i-w)z \right|\Leftrightarrow \left| w-3 \right|=\left| (i-w) \right|.\left| z \right| \).

Gọi  \( w=x+yi  \),  \( (x,y\in \mathbb{R}) \).

Do đó,  \( \left| w-3 \right|=\left| (i-w) \right|.\left| z \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-3)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{(1-y)}^{2}}}.\sqrt{2} \)

 \( \Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{y}^{2}}=2{{x}^{2}}+2{{(1-y)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-4y-7=0 \)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn  \( \left| z \right|=\sqrt{2} \) là đường tròn có tâm  \( I(-3;2) \) và bán kính  \( R=2\sqrt{5} \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Xét số phức z thỏa mãn |z|=√2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức w=(4+iz)/(1+z) là một đường tròn có bán kính bằng

(THPTQG – 2019 – 101) Xét số phức z thỏa mãn \( \left| z \right|=\sqrt{2} \). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức  \( w=\frac{4+iz}{1+z} \) là một đường tròn có bán kính bằng

A. \( \sqrt{26} \)

B.  \( \sqrt{34} \)                       

C. 26                                

D. 34

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( w=\frac{4+iz}{1+z}\Leftrightarrow (1+z)w=4+iz\Leftrightarrow z(w-i)=4-w  \)

 \( \Rightarrow \left| z \right|.\left| w-i \right|=\left| 4-w \right|\Leftrightarrow \sqrt{2}.\left| w-i \right|=\left| 4-w \right| \)    (*)

Gọi  \( w=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \) khi đó thay vào (*), ta có:

 \( \sqrt{2}.\left| x+yi-i \right|=\left| 4-x-yi \right|\Leftrightarrow 2\left[ {{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}} \right]={{(x-4)}^{2}}+{{y}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8x-4y-14=0\Leftrightarrow {{(x+4)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=34 \)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức  \( w=\frac{4+iz}{1+z} \) là một đường tròn có bán kính  \( R=\sqrt{34} \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho các số phức z thỏa mãn |z|=4. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(3+4i)z+i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó

(Đề minh họa – 2017) Cho các số phức z thỏa mãn \( \left| z \right|=4 \). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức  \( w=(3+4i)z+i  \) là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

A. r = 22

B. r = 4

C. r = 5                            

D. r = 20

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Giả sử  \( z=a+bi;\text{ }w=x+yi  \),  \( (a,b,x,y\in \mathbb{R}) \)

Theo đề:  \( w=(3+4i)z+i\Rightarrow x+yi=(3+4i)(a+bi)+i  \)

 \( \Leftrightarrow x+yi=(3a-4b)+(3b+4a+1)i \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=3a-4b \\  & y=3b+4a+1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=3a-4b \\  & y-1=3b+4a \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( {{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}={{(3a-4b)}^{2}}+{{(4a+3b)}^{2}}=25{{a}^{2}}+25{{b}^{2}}=25({{a}^{2}}+{{b}^{2}}) \)

Mà  \( \left| z \right|=4\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=16 \).

Vậy  \( {{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=25.16=400 \)

Bán kính đường tròn là:  \( r=\sqrt{400}=20 \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Xét các số phức z thỏa mãn |z|=√2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(5+iz)/(1+z) là một đường tròn có bán kính bằng

(THPTQG – 2019 – 104) Xét các số phức z thỏa mãn \( \left| z \right|=\sqrt{2} \). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức  \( w=\frac{5+iz}{1+z} \) là một đường tròn có bán kính bằng

A. 44

B. 52

C.  \( 2\sqrt{13} \)            

D.  \( 2\sqrt{11} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi  \( w=x+yi  \) với x,y là các số thực.

Ta có:  \( w=\frac{5+iz}{1+z}\Leftrightarrow z=\frac{w-5}{i-w} \)

Lại có:  \( \left| z \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| \frac{w-5}{i-w} \right|=\sqrt{2} \)

 \( \Leftrightarrow \left| w-5 \right|=\sqrt{2}\left| w-i \right|\Leftrightarrow {{(x-5)}^{2}}+{{y}^{2}}=2\left[ {{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}} \right] \)

 \( \Leftrightarrow {{(x+5)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=52 \)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w là một đường tròn có bán kính  \( R=\sqrt{52}=2\sqrt{13} \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!