Cho phương trình: (4−6m)sin3x+3(2m−1)sinx+2(m−2)sin2xcosx−(4m−3)cosx=0

Cho phương trình: \( (4-6m){{\sin }^{3}}x+3(2m-1)\sin x+2(m-2){{\sin }^{2}}x\cos x-(4m-3)\cos x=0 \)  (*)

a) Giải phương trình khi \( m=2 \).

b) Tìm m để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm trên \( \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \).

Hướng dẫn giải:

+ Xét  \( x=\frac{\pi }{2}+k\pi \)  thì  \( \cos x=0 \) và  \( \sin x=\pm 1 \) nên

(*) thành:  \( \pm (4-6m)\pm 3(2m-1)=0\Leftrightarrow 1=0 \): vô nghiệm.

+ Chia hai vế phương trình (*) cho  \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) thì:

(*) \( \Leftrightarrow (4-6m){{\tan }^{3}}x+3(2m-1)\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)+2(m-2){{\tan }^{2}}x-(4m-3)(1+{{\tan }^{2}}x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\ & {{t}^{3}}-(2m+1){{t}^{2}}+3(2m-1)t-4m+3=0\begin{matrix}  {} & (**)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & (t-1)({{t}^{2}}-2mt+4m-3)=0 \\ \end{align} \right. \).

a) Khi \( m=2 \) thì (*) thành: \( \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & (t-1)({{t}^{2}}-4t+5)=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Ta có: \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \) thì \( \tan x=t\in [0;1] \).

Xét phương trình:  \( {{t}^{2}}-2mt+4m-3=0 \)  (2)

 \( \Leftrightarrow {{t}^{2}}-3=2m(t-2)\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-3}{t-2}=2m \) (do  \( t=2 \) không là nghiệm)

Đặt  \( y=f(t)=\frac{{{t}^{2}}-3}{t-2} \)  (C) và  \( (d):y=2m \).

Ta có:  \( {y}’=f(t)=\frac{{{t}^{2}}-4t+3}{{{(t-2)}^{2}}} \).

Do (**) luôn có nghiệm  \( t=1\in [0;1] \) trên yêu cầu bài toán

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & (d):y=2m\text{ không có nghiệm chung với }(C) \\  & (d)\text{ cắt  }(C)\text{ tại 1 điểm duy nhất }t=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow 2m<\frac{3}{2}\vee 2m\ge 2\Leftrightarrow m<\frac{3}{4}\vee m\ge 1 \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Giải phương trình: tanxsin2x−2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)

Giải phương trình: \( \tan x{{\sin }^{2}}x-2{{\sin }^{2}}x=3(\cos 2x+\sin x\cos x) \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \cos x\ne 0 \).

Chia hai vế của phương trình (*) cho  \( {{\cos }^{2}}x\ne 0 \):

(*) \( \Leftrightarrow {{\tan }^{3}}x-2{{\tan }^{2}}x=\frac{3({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x+\sin x\cos x)}{{{\cos }^{2}}x} \)

 \( \Leftrightarrow {{\tan }^{3}}x-2ta{{n}^{2}}x=3(1-{{\tan }^{2}}x+\tan x)\Leftrightarrow {{\tan }^{3}}x+ta{{n}^{2}}x-3tanx-3=0 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & {{t}^{3}}+{{t}^{2}}-3t-3=0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & (t+1)({{t}^{2}}-3)=0 \\ \end{align} \right.\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=-1 \\  & \tan x=\pm \sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi  \\  & x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Giải phương trình: sinx−4sin3x+cosx=0

Giải phương trình: \( \sin x-4{{\sin }^{3}}x+\cos x=0 \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Vì  \( \cos x=0 \) không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho  \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) thì

(*) \( \Leftrightarrow \tan x(1+{{\tan }^{2}}x)-4{{\tan }^{3}}x+1+{{\tan }^{2}}x=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & -3{{t}^{3}}+{{t}^{2}}+t+1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & (t-1)(3{{t}^{2}}+2t+1)=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \tan x=1 \)

 \( x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Giải phương trình: 6sinx−2cos3x=5sin4x.cosx/2cos2x

Giải phương trình: \( 6\sin x-2{{\cos }^{3}}x=\frac{5\sin 4x.\cos x}{2\cos 2x} \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \cos 2x\ne 0\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x-si{{n}^{2}}x\ne 0\Leftrightarrow \tan x\ne \pm 1 \).

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 6\sin x-2{{\cos }^{3}}x=\frac{10\sin 2x\cos 2x\cos x}{2\cos 2x}\Leftrightarrow 6\sin x-2{{\cos }^{3}}x=5\sin 2x\cos x \)

 \( \Leftrightarrow 6\sin x-2{{\cos }^{3}}x=10\sin x{{\cos }^{2}}x \)   (**)

Do  \( \cos x=0 \) không là nghiệm của (**), chia hai vế phương trình (**) cho  \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) ta được:

(**) \( \Leftrightarrow \frac{6\tan x}{{{\cos }^{2}}x}-2=10\tan x \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x,\text{ }t\ne \pm 1 \\  & 6t(1+{{t}^{2}})-2=10t \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x,\text{ }t\ne \pm 1 \\  & 3{{t}^{3}}-2t-1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x,\text{ }t\ne \pm 1 \\  & (t-1)(3{{t}^{2}}+3t+1)=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x,\text{ }t\ne \pm 1 \\  & t=1 \\ \end{align} \right. \): vô nghiệm.

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Giải phương trình: sin3x+cos3x+2cosx=0

Giải phương trình: \( \sin 3x+\cos 3x+2\cos x=0 \)  (*)

Hướng dẫn giải:

(*) \( \Leftrightarrow (3\sin x-4{{\sin }^{3}}x)+(4{{\cos }^{3}}x-3\cos x)+2\cos x=0 \)

 \( \Leftrightarrow 3\sin x-4{{\sin }^{3}}x+4{{\cos }^{3}}x-\cos x=0 \)

Vì  \( \cos x=0 \) không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho  \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) ta được:

(*) \( \Leftrightarrow 3\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)-4{{\tan }^{3}}x+4-(1+{{\tan }^{2}}x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow -{{\tan }^{3}}x-{{\tan }^{2}}x+3\tan x+3=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & {{t}^{3}}+{{t}^{2}}-3t-3=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & (t+1)({{t}^{2}}-3)=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=-1 \\  & \tan x=\pm \sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi  \\  & x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Giải phương trình: cotx−1=cos2x/(1+tanx)+sin2x−1/2sin2x

(KA – 2003) Giải phương trình: \( \cot x-1=\frac{\cos 2x}{1+\tan x}+{{\sin }^{2}}x-\frac{1}{2}\sin 2x \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \sin 2x\ne 0 \) và  \( \tan x\ne -1 \).

Ta có:  \( \frac{\cos 2x}{1+\tan x}=\frac{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\cos x({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)}{\cos x+\sin x} \)

 \( =\cos x(\cos x-\sin x) \) (do  \( \tan x=-1 \) nên,  \( \sin x+\cos x\ne 0 \))

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}-1=({{\cos }^{2}}x-\sin x\cos x)+{{\sin }^{2}}x-\frac{1}{2}\sin 2x \)

 \( \Leftrightarrow \frac{\cos x-\sin x}{\sin x}=1-\sin 2x\Leftrightarrow \cos x-\sin x=\sin x{{(\cos x-\sin x)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow (\cos x-\sin x)\left[ 1-\sin x(\cos x-\sin x) \right]=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x-\sin x=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & 1-\sin x(\cos x-\sin x)=0\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\).

+ Giải (1) \( \Leftrightarrow \sin x=\cos x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải (2): Chia hai vế phương trình (2) cho  \( {{\cos }^{2}}x\ne 0 \) ta được:

 \( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x}{\cos x}-{{\tan }^{2}}x\Leftrightarrow 2{{\tan }^{2}}x-\tan x+1=0 \) (vô nghiệm).

Vậy nghiệm của phương trình (*) là  \( x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Lưu ý: Có thể làm cách khác

(**) \( \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}(1-\cos 2x)=0\Leftrightarrow 3=\sin 2x+\cos 2x \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=3\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{3}{\sqrt{2}} \): vô nghiệm.

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Giải phương trình: sinxsin2x+sin3x=6cos3x

Giải phương trình: \( \sin x\sin 2x+\sin 3x=6{{\cos }^{3}}x \)  (*)

Hướng dẫn giải:

(*) \( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}xcosx+3sinx-4si{{n}^{3}}x=6co{{s}^{3}}x \)

+ Xét  \( \cos x=0\text{ }(\sin x=\pm 1) \) thì (*) vô nghiệm

+ Chia hai vế phương trình (*) cho  \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) ta được:

(*) \( \Leftrightarrow \frac{2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{3\sin x}{\cos x}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-4.\frac{{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{3}}x}=6 \)

 \( \Leftrightarrow 2{{\tan }^{2}}x+3\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)-4{{\tan }^{3}}x=6 \)

 \( \Leftrightarrow {{\tan }^{3}}x-2{{\tan }^{2}}x-3\tan x+6=0\Leftrightarrow (\tan x-2)({{\tan }^{2}}x-3)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=2 \\  & \tan x=\pm \sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\arctan (2)+k\pi  \\  & x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \)

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Giải phương trình: sin2x+2tanx=3

Giải phương trình: \( \sin 2x+2\tan x=3 \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \cos x\ne 0 \).

Chia hai vế của (*) cho  \( {{\cos }^{2}}x\ne 0 \) ta được:

(*) \( \Leftrightarrow \frac{2\sin x\cos x}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{2\tan x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{3}{{{\cos }^{2}}x} \)

 \( \Leftrightarrow 2\tan x+2\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)=3(1+{{\tan }^{2}}x) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\tan x \\  & 2{{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+4t-3=0 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\  & (t-1)(2{{t}^{2}}-t+3)=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow t=1\Rightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Giải phương trình: 3cos4x−4sin2xcos2x+sin4x=0

Giải phương trình: \( 3{{\cos }^{4}}x-4{{\sin }^{2}}xco{{s}^{2}}x+si{{n}^{4}}x=0 \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Do  \( \cos x=0 \) không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho  \( {{\cos }^{4}}x\ne 0 \).

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 3-4{{\tan }^{2}}x+{{\tan }^{4}}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\tan }^{2}}x=1 \\  & {{\tan }^{2}}x=3 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=\pm 1=\tan \left( \pm \frac{\pi }{4} \right) \\  & \tan x=\pm \sqrt{3}=\tan \left( \pm \frac{\pi }{3} \right) \\ \end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi  \\  & x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Giải phương trình: cos3x−4sin3x−3cosxsin2x+sinx=0

Giải phương trình: \( {{\cos }^{3}}x-4{{\sin }^{3}}x-3cosxsi{{n}^{2}}x+\sin x=0 \)   (*)

Hướng dẫn giải:

+ Xét  \( x=\frac{\pi }{2}+k\pi \)  thì  \( \cos x=0 \) và  \( \sin x=\pm 1 \) thì (*) vô nghiệm.

+ Do  \( \cos x=0 \) không phải là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho  \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) ta được:

(*) \( \Leftrightarrow 1-4{{\tan }^{3}}x-3{{\tan }^{2}}x+\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)=0 \)

 \( \Leftrightarrow 3{{\tan }^{3}}x+3ta{{n}^{2}}x-\tan x-1=0\Leftrightarrow (\tan x+1)(3{{\tan }^{2}}x-1)=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=-1 \\  & {{\tan }^{2}}x=\frac{1}{3} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=-1 \\  & \tan x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi  \\  & x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Giải phương trình: cos2x−√3sin2x=1+sin2x

Giải phương trình: \( {{\cos }^{2}}x-\sqrt{3}\sin 2x=1+{{\sin }^{2}}x \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Vì  \( \cos x=0 \) không là nghiệm phương trình nên

Chia hai vế của (*) cho  \( {{\cos }^{2}}x\ne 0 \) ta được:

(*) \( 1-2\sqrt{3}\tan x=(1+{{\tan }^{2}}x)+{{\tan }^{2}}x \)

Đặt  \( t=\tan x \) ta có phương trình:  \( 2{{t}^{2}}+2\sqrt{3}t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0 \\  & t=-\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \).

 \( \Rightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=0 \\  & \tan x=-\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=k\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{3}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!