Xét số phức z=a+bi (a,b∈R) thỏa mãn |z−4−3i|=√5. Tính P=a+b khi |z+1−3i|+|z−1+i| đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức z.

Theo giả thiết, ta có: \(\left| z-4-3i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{(a-4)}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=5\)

Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(4;3), bán kính  \( R=\sqrt{5} \).

Gọi:  \( \left\{ \begin{align} & A(-1;3) \\  & B(1;-1) \\ \end{align} \right.\Rightarrow Q=\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|=MA+MB \)

Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D.

Ta có:  \( {{Q}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+2MA.MB  \) \( \Leftrightarrow {{Q}^{2}}\le M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}) \)

Vì ME là trung tuyến trong  \( \Delta MAB  \)

 \( \Rightarrow M{{E}^{2}}=\frac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}\Leftrightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{E}^{2}}+\frac{A{{B}^{2}}}{2} \)

 \( \Rightarrow {{Q}^{2}}\le 2\left( 2M{{E}^{2}}+\frac{A{{B}^{2}}}{2} \right)=4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}} \)

Mặt khác:  \( ME\le DE=EI+ID=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5} \)

 \( \Rightarrow {{Q}^{2}}\le 4.{{(3\sqrt{5})}^{2}}+20=200\Rightarrow Q\le 10\sqrt{2} \)

 \( \Rightarrow {{Q}_{\max }}=10\sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & MA=MB \\  & M\equiv D \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \overrightarrow{EI}=2\overrightarrow{ID}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 4=2({{x}_{D}}-4) \\ & 2=2({{y}_{D}}-3) \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{D}}=6 \\  & {{y}_{D}}=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow M(6;4)\Rightarrow P=a+b=10 \)

Cách 2: Đặt  \( z=a+bi  \). Theo giả thiết, ta có:  \( {{(a-4)}^{2}}+{{(b-5)}^{2}}=5 \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & a-4=\sqrt{5}\sin t \\  & b-3=\sqrt{5}\cos t \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( Q=\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|=\sqrt{{{(a+1)}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}}+\sqrt{{{(a-1)}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}} \)

 \( =\sqrt{{{\left( \sqrt{5}\sin t+5 \right)}^{2}}+5{{\cos }^{2}}t}+\sqrt{{{\left( \sqrt{5}\sin t+3 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{5}\cos t+4 \right)}^{2}}} \)

 \( =\sqrt{30+10\sqrt{5}\sin t}+\sqrt{30+2\sqrt{5}(3\sin t+4\cos t)} \)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

 \( Q\le \sqrt{2\left[ 60+8\sqrt{5}(2\sin t+\cos t) \right]}\le \sqrt{2\left[ 60+8\sqrt{5}.\sqrt{5} \right]}=\sqrt{200}=10\sqrt{2} \)

 \( \Rightarrow Q\le 10\sqrt{2}\Rightarrow {{Q}_{\max }}=10\sqrt{2} \)

Dấu “=” xảy ra khi  \( \left\{ \begin{align}  & \sin t=\frac{2}{\sqrt{5}} \\  & \cos t=\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=6 \\  & b=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow P=a+b=10 \).