Xét số phức z=a+bi (a,b∈R) thỏa mãn |z−4−3i|=√5. Tính P=a+b khi |z+1−3i|+|z−1+i| đạt giá trị lớn nhất

(Đề Tham Khảo – 2018) Xét số phức \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \) thỏa mãn  \( \left| z-4-3i \right|=\sqrt{5} \). Tính  \( P=a+b  \) khi  \( \left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right| \) đạt giá trị lớn nhất.

A. P = 8

B. P = 10

C. P = 4                           

D. P = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức z.

Theo giả thiết, ta có: \(\left| z-4-3i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{(a-4)}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=5\)

Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(4;3), bán kính  \( R=\sqrt{5} \).

Gọi:  \( \left\{ \begin{align} & A(-1;3) \\  & B(1;-1) \\ \end{align} \right.\Rightarrow Q=\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|=MA+MB \)

Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D.

Ta có:  \( {{Q}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+2MA.MB  \) \( \Leftrightarrow {{Q}^{2}}\le M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}) \)

Vì ME là trung tuyến trong  \( \Delta MAB  \)

 \( \Rightarrow M{{E}^{2}}=\frac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}\Leftrightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{E}^{2}}+\frac{A{{B}^{2}}}{2} \)

 \( \Rightarrow {{Q}^{2}}\le 2\left( 2M{{E}^{2}}+\frac{A{{B}^{2}}}{2} \right)=4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}} \)

Mặt khác:  \( ME\le DE=EI+ID=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5} \)

 \( \Rightarrow {{Q}^{2}}\le 4.{{(3\sqrt{5})}^{2}}+20=200\Rightarrow Q\le 10\sqrt{2} \)

 \( \Rightarrow {{Q}_{\max }}=10\sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & MA=MB \\  & M\equiv D \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \overrightarrow{EI}=2\overrightarrow{ID}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 4=2({{x}_{D}}-4) \\ & 2=2({{y}_{D}}-3) \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{D}}=6 \\  & {{y}_{D}}=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow M(6;4)\Rightarrow P=a+b=10 \)

Cách 2: Đặt  \( z=a+bi  \). Theo giả thiết, ta có:  \( {{(a-4)}^{2}}+{{(b-5)}^{2}}=5 \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & a-4=\sqrt{5}\sin t \\  & b-3=\sqrt{5}\cos t \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( Q=\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|=\sqrt{{{(a+1)}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}}+\sqrt{{{(a-1)}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}} \)

 \( =\sqrt{{{\left( \sqrt{5}\sin t+5 \right)}^{2}}+5{{\cos }^{2}}t}+\sqrt{{{\left( \sqrt{5}\sin t+3 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{5}\cos t+4 \right)}^{2}}} \)

 \( =\sqrt{30+10\sqrt{5}\sin t}+\sqrt{30+2\sqrt{5}(3\sin t+4\cos t)} \)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:

 \( Q\le \sqrt{2\left[ 60+8\sqrt{5}(2\sin t+\cos t) \right]}\le \sqrt{2\left[ 60+8\sqrt{5}.\sqrt{5} \right]}=\sqrt{200}=10\sqrt{2} \)

 \( \Rightarrow Q\le 10\sqrt{2}\Rightarrow {{Q}_{\max }}=10\sqrt{2} \)

Dấu “=” xảy ra khi  \( \left\{ \begin{align}  & \sin t=\frac{2}{\sqrt{5}} \\  & \cos t=\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=6 \\  & b=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow P=a+b=10 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *