(Đề Tham Khảo – 2018) Xét số phức \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \) thỏa mãn \( \left| z-4-3i \right|=\sqrt{5} \). Tính \( P=a+b \) khi \( \left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right| \) đạt giá trị lớn nhất.
A. P = 8
B. P = 10
C. P = 4
D. P = 6.
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Gọi M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức z.
Theo giả thiết, ta có: \(\left| z-4-3i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{(a-4)}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}=5\)
Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(4;3), bán kính \( R=\sqrt{5} \).
Gọi: \( \left\{ \begin{align} & A(-1;3) \\ & B(1;-1) \\ \end{align} \right.\Rightarrow Q=\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|=MA+MB \)
Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại D.
Ta có: \( {{Q}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+2MA.MB \) \( \Leftrightarrow {{Q}^{2}}\le M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}) \)
Vì ME là trung tuyến trong \( \Delta MAB \)
\( \Rightarrow M{{E}^{2}}=\frac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}\Leftrightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=2M{{E}^{2}}+\frac{A{{B}^{2}}}{2} \)
\( \Rightarrow {{Q}^{2}}\le 2\left( 2M{{E}^{2}}+\frac{A{{B}^{2}}}{2} \right)=4M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}} \)
Mặt khác: \( ME\le DE=EI+ID=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5} \)
\( \Rightarrow {{Q}^{2}}\le 4.{{(3\sqrt{5})}^{2}}+20=200\Rightarrow Q\le 10\sqrt{2} \)
\( \Rightarrow {{Q}_{\max }}=10\sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & MA=MB \\ & M\equiv D \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow{EI}=2\overrightarrow{ID}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 4=2({{x}_{D}}-4) \\ & 2=2({{y}_{D}}-3) \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{D}}=6 \\ & {{y}_{D}}=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow M(6;4)\Rightarrow P=a+b=10 \)
Cách 2: Đặt \( z=a+bi \). Theo giả thiết, ta có: \( {{(a-4)}^{2}}+{{(b-5)}^{2}}=5 \)
Đặt \( \left\{ \begin{align} & a-4=\sqrt{5}\sin t \\ & b-3=\sqrt{5}\cos t \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( Q=\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|=\sqrt{{{(a+1)}^{2}}+{{(b-3)}^{2}}}+\sqrt{{{(a-1)}^{2}}+{{(b+1)}^{2}}} \)
\( =\sqrt{{{\left( \sqrt{5}\sin t+5 \right)}^{2}}+5{{\cos }^{2}}t}+\sqrt{{{\left( \sqrt{5}\sin t+3 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{5}\cos t+4 \right)}^{2}}} \)
\( =\sqrt{30+10\sqrt{5}\sin t}+\sqrt{30+2\sqrt{5}(3\sin t+4\cos t)} \)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
\( Q\le \sqrt{2\left[ 60+8\sqrt{5}(2\sin t+\cos t) \right]}\le \sqrt{2\left[ 60+8\sqrt{5}.\sqrt{5} \right]}=\sqrt{200}=10\sqrt{2} \)
\( \Rightarrow Q\le 10\sqrt{2}\Rightarrow {{Q}_{\max }}=10\sqrt{2} \)
Dấu “=” xảy ra khi \( \left\{ \begin{align} & \sin t=\frac{2}{\sqrt{5}} \\ & \cos t=\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=6 \\ & b=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow P=a+b=10 \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!