Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M và M’. Số phức \( z(4+3i) \) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N và N’. Biết rằng M, M’, N, N’ là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( \left| z+4i-5 \right| \).
A. \( \frac{5}{\sqrt{34}} \)
B. \( \frac{2}{\sqrt{5}} \)
C. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
D. \( \frac{4}{\sqrt{13}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Gọi \( z=x+yi \), trong đó \( x,y\in \mathbb{R} \). Khi đó, \(\bar{z}=x-yi\)
\( \Rightarrow M(x;y),\text{ }{M}'(x;-y) \).
Ta đặt \( w=z(4+3i)=(x+yi)(4+3i)=(4x-3y)+(3x+4y)I \) \( \Rightarrow N(4x-3y;3x+4y) \).
Khi đó: \( \bar{w}=\overline{z(4+3i)}=(4x-3y)-(3x+4y)i\Rightarrow {N}'(4x-3y;-3x-4y) \).
Ta có M và M’; N và N’ từng cặp đối xứng qua trục Ox.
Do đó, để chúng tạo thành một hình chữ nhật thì \( {{y}_{M}}={{y}_{N}} \) hoặc \( {{y}_{M}}={{y}_{{{N}’}}} \).
Suy ra: \( y=3x+4y \) hoặc \( y=-3x-4y \).
Vậy tập hợp các điểm M là hai đường thẳng \( {{d}_{1}}:x+y=0 \) và \( {{d}_{2}}:3x+5y=0 \).
Đặt \( P=\left| z+4i-5 \right|=\sqrt{{{(x-5)}^{2}}+{{(y+4)}^{2}}} \). Ta có \( P=MA \) với A(5;-4).
\( {{P}_{\min }}\Leftrightarrow M{{A}_{\min }}\Leftrightarrow MA={{d}_{(A,{{d}_{1}})}} \) hoặc \( MA={{d}_{(A,{{d}_{2}})}} \).
Mà \( {{d}_{(A,{{d}_{1}})}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\text{ }{{d}_{(A,{{d}_{2}})}}=\frac{5}{\sqrt{34}} \).
Vậy \( {{P}_{\min }}={{d}_{(A,{{d}_{1}})}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!