Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M và M’. Số phức z(4+3i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N và N’

Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M và M’. Số phức \( z(4+3i) \) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N và N’. Biết rằng M, M’, N, N’ là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của  \( \left| z+4i-5 \right| \).

A. \( \frac{5}{\sqrt{34}} \)

B.  \( \frac{2}{\sqrt{5}} \)         

C.  \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

D.  \( \frac{4}{\sqrt{13}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi  \( z=x+yi  \), trong đó  \( x,y\in \mathbb{R} \). Khi đó, \(\bar{z}=x-yi\)

 \( \Rightarrow M(x;y),\text{ }{M}'(x;-y) \).

Ta đặt  \( w=z(4+3i)=(x+yi)(4+3i)=(4x-3y)+(3x+4y)I \)  \( \Rightarrow N(4x-3y;3x+4y) \).

Khi đó:  \( \bar{w}=\overline{z(4+3i)}=(4x-3y)-(3x+4y)i\Rightarrow {N}'(4x-3y;-3x-4y) \).

Ta có M và M’; N và N’ từng cặp đối xứng qua trục Ox.

Do đó, để chúng tạo thành một hình chữ nhật thì  \( {{y}_{M}}={{y}_{N}} \) hoặc  \( {{y}_{M}}={{y}_{{{N}’}}} \).

Suy ra:  \( y=3x+4y  \) hoặc  \( y=-3x-4y  \).

Vậy tập hợp các điểm M là hai đường thẳng  \( {{d}_{1}}:x+y=0 \) và  \( {{d}_{2}}:3x+5y=0 \).

Đặt  \( P=\left| z+4i-5 \right|=\sqrt{{{(x-5)}^{2}}+{{(y+4)}^{2}}} \). Ta có  \( P=MA  \) với A(5;-4).

 \( {{P}_{\min }}\Leftrightarrow M{{A}_{\min }}\Leftrightarrow MA={{d}_{(A,{{d}_{1}})}} \) hoặc  \( MA={{d}_{(A,{{d}_{2}})}} \).

Mà  \( {{d}_{(A,{{d}_{1}})}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\text{ }{{d}_{(A,{{d}_{2}})}}=\frac{5}{\sqrt{34}} \).

Vậy  \( {{P}_{\min }}={{d}_{(A,{{d}_{1}})}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *